Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29687 / 23567
↖ ↑ ↗
← N 74.765021°
W 98.462219°		 ← 80.24 m → N 74.765021°
W 98.459473°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
N 74.764299°
W 98.462219°		 ← 80.25 m →
6 442 m²		 N 74.764299°
W 98.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226497650146484 y=0.179805755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226497650146484 × 217)
    floor (0.226497650146484 × 131072)
    floor (29687.5)     		tx = 29687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179805755615234 × 217)
    floor (0.179805755615234 × 131072)
    floor (23567.5)     		ty = 23567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29687 / 23567 ti = "17/29687/23567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29687/23567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29687 ÷ 217
    29687 ÷ 131072     		x = 0.226493835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23567 ÷ 217
    23567 ÷ 131072     		y = 0.179801940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226493835449219 × 2 - 1) × π
    -0.547012329101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.71848991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179801940917969 × 2 - 1) × π
    0.640396118164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.01186374015414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71848991} λ = -1.71848991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01186374015414))-π/2
    2×atan(7.47724000161733)-π/2
    2×1.43784605104531-π/2
    2.87569210209063-1.57079632675     		φ = 1.30489578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71848991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.462219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30489578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.765021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29687 KachelY 23567 -1.71848991 1.30489578 -98.462219 74.765021
    Oben rechts KachelX + 1 29688 KachelY 23567 -1.71844198 1.30489578 -98.459473 74.765021
    Unten links KachelX 29687 KachelY + 1 23568 -1.71848991 1.30488318 -98.462219 74.764299
    Unten rechts KachelX + 1 29688 KachelY + 1 23568 -1.71844198 1.30488318 -98.459473 74.764299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30489578-1.30488318) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30489578-1.30488318) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71848991--1.71844198) × cos(1.30489578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262778272788324 × 6371000     		do = 80.2425068185855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71848991--1.71844198) × cos(1.30488318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.26279042995619 × 6371000     		du = 80.246219156044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30489578)-sin(1.30488318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262778272788324-0.26279042995619)×R²
    abs(-1.71844198--1.71848991)×1.21571678655119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21571678655119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21571678655119e-05×40589641000000     		ar = 6441.58414120057m²