Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29685 / 29703
↖ ↑ ↗
← N 69.650401°
W 98.467713°		 ← 106.21 m → N 69.650401°
W 98.464966°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 69.649446°
W 98.467713°		 ← 106.22 m →
11 280 m²		 N 69.649446°
W 98.464966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226482391357422 y=0.226619720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226482391357422 × 217)
    floor (0.226482391357422 × 131072)
    floor (29685.5)     		tx = 29685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226619720458984 × 217)
    floor (0.226619720458984 × 131072)
    floor (29703.5)     		ty = 29703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29685 / 29703 ti = "17/29685/29703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29685/29703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29685 ÷ 217
    29685 ÷ 131072     		x = 0.226478576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29703 ÷ 217
    29703 ÷ 131072     		y = 0.226615905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226478576660156 × 2 - 1) × π
    -0.547042846679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.71858579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226615905761719 × 2 - 1) × π
    0.546768188476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.71772292408547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71858579} λ = -1.71858579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71772292408547))-π/2
    2×atan(5.57182653613175)-π/2
    2×1.39321257920639-π/2
    2.78642515841279-1.57079632675     		φ = 1.21562883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71858579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.467713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21562883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.650401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29685 KachelY 29703 -1.71858579 1.21562883 -98.467713 69.650401
    Oben rechts KachelX + 1 29686 KachelY 29703 -1.71853785 1.21562883 -98.464966 69.650401
    Unten links KachelX 29685 KachelY + 1 29704 -1.71858579 1.21561216 -98.467713 69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 29686 KachelY + 1 29704 -1.71853785 1.21561216 -98.464966 69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21562883-1.21561216) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21562883-1.21561216) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71858579--1.71853785) × cos(1.21562883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347747413140819 × 6371000     		do = 106.211010991551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71858579--1.71853785) × cos(1.21561216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 106.215784657784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21562883)-sin(1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347747413140819-0.347763042688718)×R²
    abs(-1.71853785--1.71858579)×1.56295478990764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56295478990764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56295478990764e-05×40589641000000     		ar = 11280.3482443801m²