Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29685 / 29655
↖ ↑ ↗
← S 81.023202°
E146.129151°		 ← 190.61 m → S 81.023202°
E146.140136°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
S 81.024916°
E146.129151°		 ← 190.57 m →
36 330 m²		 S 81.024916°
E146.140136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905929565429688 y=0.905014038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905929565429688 × 215)
    floor (0.905929565429688 × 32768)
    floor (29685.5)     		tx = 29685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905014038085938 × 215)
    floor (0.905014038085938 × 32768)
    floor (29655.5)     		ty = 29655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29685 / 29655 ti = "15/29685/29655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29685/29655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29685 ÷ 215
    29685 ÷ 32768     		x = 0.905914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29655 ÷ 215
    29655 ÷ 32768     		y = 0.904998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905914306640625 × 2 - 1) × π
    0.81182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55043481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.80999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54468237943106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55043481} λ = 2.55043481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54468237943106))-π/2
    2×atan(0.078497980594848)-π/2
    2×0.0783373409902928-π/2
    0.156674681980586-1.57079632675     		φ = -1.41412164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55043481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.129151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41412164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.023202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29685 KachelY 29655 2.55043481 -1.41412164 146.129151 -81.023202
    Oben rechts KachelX + 1 29686 KachelY 29655 2.55062655 -1.41412164 146.140136 -81.023202
    Unten links KachelX 29685 KachelY + 1 29656 2.55043481 -1.41415156 146.129151 -81.024916
    Unten rechts KachelX + 1 29686 KachelY + 1 29656 2.55062655 -1.41415156 146.140136 -81.024916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41412164--1.41415156) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41412164--1.41415156) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55043481-2.55062655) × cos(-1.41412164) × R
    0.000191739999999996 × 0.156034491896224 × 6371000     		do = 190.607918696752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55043481-2.55062655) × cos(-1.41415156) × R
    0.000191739999999996 × 0.156004938298302 × 6371000     		du = 190.571816744411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41412164)-sin(-1.41415156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156034491896224-0.156004938298302)×R²
    abs(2.55062655-2.55043481)×2.95535979217276e-05×R²
    0.000191739999999996×2.95535979217276e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.95535979217276e-05×40589641000000     		ar = 36330.3015757759m²