Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29684 / 23566
↖ ↑ ↗
← N 74.765742°
W 98.470459°		 ← 80.26 m → N 74.765742°
W 98.467713°		 →
↑
80.21 m
↓
↑
80.21 m
↓
N 74.765021°
W 98.470459°		 ← 80.26 m →
6 438 m²		 N 74.765021°
W 98.467713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226474761962891 y=0.179798126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226474761962891 × 217)
    floor (0.226474761962891 × 131072)
    floor (29684.5)     		tx = 29684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179798126220703 × 217)
    floor (0.179798126220703 × 131072)
    floor (23566.5)     		ty = 23566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29684 / 23566 ti = "17/29684/23566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29684/23566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29684 ÷ 217
    29684 ÷ 131072     		x = 0.226470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23566 ÷ 217
    23566 ÷ 131072     		y = 0.179794311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.54705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71863373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179794311523438 × 2 - 1) × π
    0.640411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01191167705376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71863373} λ = -1.71863373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01191167705376))-π/2
    2×atan(7.47759844591201)-π/2
    2×1.43785234928761-π/2
    2.87570469857522-1.57079632675     		φ = 1.30490837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71863373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30490837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.765742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29684 KachelY 23566 -1.71863373 1.30490837 -98.470459 74.765742
    Oben rechts KachelX + 1 29685 KachelY 23566 -1.71858579 1.30490837 -98.467713 74.765742
    Unten links KachelX 29684 KachelY + 1 23567 -1.71863373 1.30489578 -98.470459 74.765021
    Unten rechts KachelX + 1 29685 KachelY + 1 23567 -1.71858579 1.30489578 -98.467713 74.765021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30490837-1.30489578) × R
    1.2589999999868e-05 × 6371000     		dl = 80.2108899991589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30490837-1.30489578) × R
    1.2589999999868e-05 × 6371000     		dr = 80.2108899991589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71863373--1.71858579) × cos(1.30490837) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.262766125227336 × 6371000     		do = 80.2555382448108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71863373--1.71858579) × cos(1.30489578) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.262778272788324 × 6371000     		du = 80.2592484226148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30490837)-sin(1.30489578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262766125227336-0.262778272788324)×R²
    abs(-1.71858579--1.71863373)×1.21475609883848e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.21475609883848e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.21475609883848e-05×40589641000000     		ar = 6437.5169485217m²