Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2968 / 3480
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
W 49.570312°		 ← 4 387.61 m → N 26.115986°
W 49.526367°		 →
↑
4 388.34 m
↓
↑
4 388.34 m
↓
N 26.076520°
W 49.570312°		 ← 4 389.09 m →
19 257 576 m²		 N 26.076520°
W 49.526367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36236572265625 y=0.42486572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36236572265625 × 213)
    floor (0.36236572265625 × 8192)
    floor (2968.5)     		tx = 2968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42486572265625 × 213)
    floor (0.42486572265625 × 8192)
    floor (3480.5)     		ty = 3480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2968 / 3480 ti = "13/2968/3480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2968/3480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2968 ÷ 213
    2968 ÷ 8192     		x = 0.3623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3480 ÷ 213
    3480 ÷ 8192     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86516516} λ = -0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2968 KachelY 3480 -0.86516516 0.45580994 -49.570312 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 2969 KachelY 3480 -0.86439817 0.45580994 -49.526367 26.115986
    Unten links KachelX 2968 KachelY + 1 3481 -0.86516516 0.45512114 -49.570312 26.076520
    Unten rechts KachelX + 1 2969 KachelY + 1 3481 -0.86439817 0.45512114 -49.526367 26.076520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45512114) × R
    0.000688800000000045 × 6371000     		dl = 4388.34480000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45512114) × R
    0.000688800000000045 × 6371000     		dr = 4388.34480000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86516516--0.86439817) × cos(0.45580994) × R
    0.000766990000000023 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 4387.60575817282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86516516--0.86439817) × cos(0.45512114) × R
    0.000766990000000023 × 0.898207785123052 × 6371000     		du = 4389.08631502968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45512114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.898207785123052)×R²
    abs(-0.86439817--0.86516516)×0.00030298964287867×R²
    0.000766990000000023×0.00030298964287867×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030298964287867×40589641000000     		ar = 19257576.2717096m²