Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29677 / 29780
↖ ↑ ↗
← S 81.234966°
E146.041260°		 ← 186.15 m → S 81.234966°
E146.052246°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
S 81.236639°
E146.041260°		 ← 186.11 m →
34 638 m²		 S 81.236639°
E146.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905685424804688 y=0.908828735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905685424804688 × 215)
    floor (0.905685424804688 × 32768)
    floor (29677.5)     		tx = 29677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908828735351562 × 215)
    floor (0.908828735351562 × 32768)
    floor (29780.5)     		ty = 29780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29677 / 29780 ti = "15/29677/29780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29677/29780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29677 ÷ 215
    29677 ÷ 32768     		x = 0.905670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29780 ÷ 215
    29780 ÷ 32768     		y = 0.9088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905670166015625 × 2 - 1) × π
    0.81134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54890083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56865082924109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54890083} λ = 2.54890083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56865082924109))-π/2
    2×atan(0.0766388746325143)-π/2
    2×0.0764893546245113-π/2
    0.152978709249023-1.57079632675     		φ = -1.41781762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54890083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41781762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.234966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29677 KachelY 29780 2.54890083 -1.41781762 146.041260 -81.234966
    Oben rechts KachelX + 1 29678 KachelY 29780 2.54909257 -1.41781762 146.052246 -81.234966
    Unten links KachelX 29677 KachelY + 1 29781 2.54890083 -1.41784683 146.041260 -81.236639
    Unten rechts KachelX + 1 29678 KachelY + 1 29781 2.54909257 -1.41784683 146.052246 -81.236639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41781762--1.41784683) × R
    2.92100000001128e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41781762--1.41784683) × R
    2.92100000001128e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54890083-2.54909257) × cos(-1.41781762) × R
    0.000191739999999996 × 0.152382724287716 × 6371000     		do = 186.147008708434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54890083-2.54909257) × cos(-1.41784683) × R
    0.000191739999999996 × 0.152353855349953 × 6371000     		du = 186.111743120197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41781762)-sin(-1.41784683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152382724287716-0.152353855349953)×R²
    abs(2.54909257-2.54890083)×2.8868937762716e-05×R²
    0.000191739999999996×2.8868937762716e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.8868937762716e-05×40589641000000     		ar = 34638.101720186m²