Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29677 / 16743
↖ ↑ ↗
← N 65.714817°
W 16.979370°		 ← 251.20 m → N 65.714817°
W 16.973877°		 →
↑
251.21 m
↓
↑
251.21 m
↓
N 65.712558°
W 16.979370°		 ← 251.23 m →
63 107 m²		 N 65.712558°
W 16.973877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452842712402344 y=0.255485534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452842712402344 × 216)
    floor (0.452842712402344 × 65536)
    floor (29677.5)     		tx = 29677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255485534667969 × 216)
    floor (0.255485534667969 × 65536)
    floor (16743.5)     		ty = 16743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29677 / 16743 ti = "16/29677/16743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29677/16743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29677 ÷ 216
    29677 ÷ 65536     		x = 0.452835083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16743 ÷ 216
    16743 ÷ 65536     		y = 0.255477905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452835083007812 × 2 - 1) × π
    -0.094329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29634591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255477905273438 × 2 - 1) × π
    0.489044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5363776328228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29634591} λ = -0.29634591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5363776328228))-π/2
    2×atan(4.64772397868987)-π/2
    2×1.35886812347998-π/2
    2.71773624695996-1.57079632675     		φ = 1.14693992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29634591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.979370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14693992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.714817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29677 KachelY 16743 -0.29634591 1.14693992 -16.979370 65.714817
    Oben rechts KachelX + 1 29678 KachelY 16743 -0.29625004 1.14693992 -16.973877 65.714817
    Unten links KachelX 29677 KachelY + 1 16744 -0.29634591 1.14690049 -16.979370 65.712558
    Unten rechts KachelX + 1 29678 KachelY + 1 16744 -0.29625004 1.14690049 -16.973877 65.712558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14693992-1.14690049) × R
    3.94299999999514e-05 × 6371000     		dl = 251.208529999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14693992-1.14690049) × R
    3.94299999999514e-05 × 6371000     		dr = 251.208529999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29634591--0.29625004) × cos(1.14693992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411278654648277 × 6371000     		do = 251.203972321216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29634591--0.29625004) × cos(1.14690049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411314595154621 × 6371000     		du = 251.225924342938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14693992)-sin(1.14690049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411278654648277-0.411314595154621)×R²
    abs(-0.29625004--0.29634591)×3.59405063439233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59405063439233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59405063439233e-05×40589641000000     		ar = 63107.3378926415m²