Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29676 / 30090
↖ ↑ ↗
← S 81.738988°
E146.030273°		 ← 175.53 m → S 81.738988°
E146.041260°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
S 81.740567°
E146.030273°		 ← 175.50 m →
30 806 m²		 S 81.740567°
E146.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905654907226562 y=0.918289184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905654907226562 × 215)
    floor (0.905654907226562 × 32768)
    floor (29676.5)     		tx = 29676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918289184570312 × 215)
    floor (0.918289184570312 × 32768)
    floor (30090.5)     		ty = 30090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29676 / 30090 ti = "15/29676/30090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29676/30090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29676 ÷ 215
    29676 ÷ 32768     		x = 0.9056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30090 ÷ 215
    30090 ÷ 32768     		y = 0.91827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9056396484375 × 2 - 1) × π
    0.811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54870908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.8365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62809258476996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54870908} λ = 2.54870908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62809258476996))-π/2
    2×atan(0.0722160769979192)-π/2
    2×0.0720909288576691-π/2
    0.144181857715338-1.57079632675     		φ = -1.42661447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54870908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.030273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42661447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.738988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29676 KachelY 30090 2.54870908 -1.42661447 146.030273 -81.738988
    Oben rechts KachelX + 1 29677 KachelY 30090 2.54890083 -1.42661447 146.041260 -81.738988
    Unten links KachelX 29676 KachelY + 1 30091 2.54870908 -1.42664202 146.030273 -81.740567
    Unten rechts KachelX + 1 29677 KachelY + 1 30091 2.54890083 -1.42664202 146.041260 -81.740567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42661447--1.42664202) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42661447--1.42664202) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54870908-2.54890083) × cos(-1.42661447) × R
    0.000191749999999935 × 0.14368282390894 × 6371000     		do = 175.52857723794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54870908-2.54890083) × cos(-1.42664202) × R
    0.000191749999999935 × 0.143655559718996 × 6371000     		du = 175.495270233385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42661447)-sin(-1.42664202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14368282390894-0.143655559718996)×R²
    abs(2.54890083-2.54870908)×2.72641899441428e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72641899441428e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72641899441428e-05×40589641000000     		ar = 30806.0371430187m²