Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29676 / 30084
↖ ↑ ↗
← S 81.729511°
E146.030273°		 ← 175.73 m → S 81.729511°
E146.041260°		 →
↑
175.71 m
↓
↑
175.71 m
↓
S 81.731092°
E146.030273°		 ← 175.70 m →
30 875 m²		 S 81.731092°
E146.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905654907226562 y=0.918106079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905654907226562 × 215)
    floor (0.905654907226562 × 32768)
    floor (29676.5)     		tx = 29676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918106079101562 × 215)
    floor (0.918106079101562 × 32768)
    floor (30084.5)     		ty = 30084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29676 / 30084 ti = "15/29676/30084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29676/30084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29676 ÷ 215
    29676 ÷ 32768     		x = 0.9056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30084 ÷ 215
    30084 ÷ 32768     		y = 0.9180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9056396484375 × 2 - 1) × π
    0.811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54870908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.836181640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62694209917908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54870908} λ = 2.54870908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62694209917908))-π/2
    2×atan(0.072299208365486)-π/2
    2×0.0721736284368815-π/2
    0.144347256873763-1.57079632675     		φ = -1.42644907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54870908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.030273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42644907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.729511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29676 KachelY 30084 2.54870908 -1.42644907 146.030273 -81.729511
    Oben rechts KachelX + 1 29677 KachelY 30084 2.54890083 -1.42644907 146.041260 -81.729511
    Unten links KachelX 29676 KachelY + 1 30085 2.54870908 -1.42647665 146.030273 -81.731092
    Unten rechts KachelX + 1 29677 KachelY + 1 30085 2.54890083 -1.42647665 146.041260 -81.731092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42644907--1.42647665) × R
    2.7579999999805e-05 × 6371000     		dl = 175.712179998758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42644907--1.42647665) × R
    2.7579999999805e-05 × 6371000     		dr = 175.712179998758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54870908-2.54890083) × cos(-1.42644907) × R
    0.000191749999999935 × 0.143846505717714 × 6371000     		do = 175.72853736005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54870908-2.54890083) × cos(-1.42647665) × R
    0.000191749999999935 × 0.143819212494692 × 6371000     		du = 175.695194887546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42644907)-sin(-1.42647665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143846505717714-0.143819212494692)×R²
    abs(2.54890083-2.54870908)×2.7293223022834e-05×R²
    0.000191749999999935×2.7293223022834e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.7293223022834e-05×40589641000000     		ar = 30874.7150503852m²