Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29675 / 30081
↖ ↑ ↗
← S 81.724769°
E146.019287°		 ← 175.83 m → S 81.724769°
E146.030273°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
S 81.726350°
E146.019287°		 ← 175.80 m →
30 903 m²		 S 81.726350°
E146.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905624389648438 y=0.918014526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905624389648438 × 215)
    floor (0.905624389648438 × 32768)
    floor (29675.5)     		tx = 29675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918014526367188 × 215)
    floor (0.918014526367188 × 32768)
    floor (30081.5)     		ty = 30081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29675 / 30081 ti = "15/29675/30081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29675/30081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29675 ÷ 215
    29675 ÷ 32768     		x = 0.905609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30081 ÷ 215
    30081 ÷ 32768     		y = 0.917999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905609130859375 × 2 - 1) × π
    0.81121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54851733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.83599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62636685638364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54851733} λ = 2.54851733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62636685638364))-π/2
    2×atan(0.0723408099285669)-π/2
    2×0.0722150135482208-π/2
    0.144430027096442-1.57079632675     		φ = -1.42636630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54851733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42636630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.724769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29675 KachelY 30081 2.54851733 -1.42636630 146.019287 -81.724769
    Oben rechts KachelX + 1 29676 KachelY 30081 2.54870908 -1.42636630 146.030273 -81.724769
    Unten links KachelX 29675 KachelY + 1 30082 2.54851733 -1.42639389 146.019287 -81.726350
    Unten rechts KachelX + 1 29676 KachelY + 1 30082 2.54870908 -1.42639389 146.030273 -81.726350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42636630--1.42639389) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42636630--1.42639389) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54851733-2.54870908) × cos(-1.42636630) × R
    0.000191749999999935 × 0.143928414417837 × 6371000     		do = 175.828600243036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54851733-2.54870908) × cos(-1.42639389) × R
    0.000191749999999935 × 0.143901111627328 × 6371000     		du = 175.795246082516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42636630)-sin(-1.42639389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143928414417837-0.143901111627328)×R²
    abs(2.54870908-2.54851733)×2.73027905090817e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73027905090817e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73027905090817e-05×40589641000000     		ar = 30903.4972684057m²