Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29675 / 22841
↖ ↑ ↗
← N 47.779943°
W 16.990356°		 ← 410.44 m → N 47.779943°
W 16.984863°		 →
↑
410.48 m
↓
↑
410.48 m
↓
N 47.776252°
W 16.990356°		 ← 410.47 m →
168 484 m²		 N 47.776252°
W 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452812194824219 y=0.348533630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452812194824219 × 216)
    floor (0.452812194824219 × 65536)
    floor (29675.5)     		tx = 29675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348533630371094 × 216)
    floor (0.348533630371094 × 65536)
    floor (22841.5)     		ty = 22841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29675 / 22841 ti = "16/29675/22841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29675/22841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29675 ÷ 216
    29675 ÷ 65536     		x = 0.452804565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22841 ÷ 216
    22841 ÷ 65536     		y = 0.348526000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452804565429688 × 2 - 1) × π
    -0.094390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29653766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348526000976562 × 2 - 1) × π
    0.302947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.951739205056595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29653766} λ = -0.29653766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951739205056595))-π/2
    2×atan(2.5902106515699)-π/2
    2×1.20235682837804-π/2
    2.40471365675607-1.57079632675     		φ = 0.83391733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29653766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.990356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83391733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.779943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29675 KachelY 22841 -0.29653766 0.83391733 -16.990356 47.779943
    Oben rechts KachelX + 1 29676 KachelY 22841 -0.29644179 0.83391733 -16.984863 47.779943
    Unten links KachelX 29675 KachelY + 1 22842 -0.29653766 0.83385290 -16.990356 47.776252
    Unten rechts KachelX + 1 29676 KachelY + 1 22842 -0.29644179 0.83385290 -16.984863 47.776252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83391733-0.83385290) × R
    6.44300000000042e-05 × 6371000     		dl = 410.483530000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83391733-0.83385290) × R
    6.44300000000042e-05 × 6371000     		dr = 410.483530000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29653766--0.29644179) × cos(0.83391733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		do = 410.437085444677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29653766--0.29644179) × cos(0.83385290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672027582121321 × 6371000     		du = 410.466228262364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83391733)-sin(0.83385290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671979868628814-0.672027582121321)×R²
    abs(-0.29644179--0.29653766)×4.77134925066514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77134925066514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77134925066514e-05×40589641000000     		ar = 168483.645057992m²