Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29674 / 30073
↖ ↑ ↗
← S 81.712110°
E146.008301°		 ← 176.10 m → S 81.712110°
E146.019287°		 →
↑
176.09 m
↓
↑
176.09 m
↓
S 81.713693°
E146.008301°		 ← 176.06 m →
31 007 m²		 S 81.713693°
E146.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905593872070312 y=0.917770385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905593872070312 × 215)
    floor (0.905593872070312 × 32768)
    floor (29674.5)     		tx = 29674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917770385742188 × 215)
    floor (0.917770385742188 × 32768)
    floor (30073.5)     		ty = 30073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29674 / 30073 ti = "15/29674/30073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29674/30073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29674 ÷ 215
    29674 ÷ 32768     		x = 0.90557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30073 ÷ 215
    30073 ÷ 32768     		y = 0.917755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90557861328125 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54832558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.83551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62483287559579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54832558} λ = 2.54832558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62483287559579))-π/2
    2×atan(0.0724518644971847)-π/2
    2×0.0723254890890482-π/2
    0.144650978178096-1.57079632675     		φ = -1.42614535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54832558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42614535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.712110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29674 KachelY 30073 2.54832558 -1.42614535 146.008301 -81.712110
    Oben rechts KachelX + 1 29675 KachelY 30073 2.54851733 -1.42614535 146.019287 -81.712110
    Unten links KachelX 29674 KachelY + 1 30074 2.54832558 -1.42617299 146.008301 -81.713693
    Unten rechts KachelX + 1 29675 KachelY + 1 30074 2.54851733 -1.42617299 146.019287 -81.713693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42614535--1.42617299) × R
    2.76399999998844e-05 × 6371000     		dl = 176.094439999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42614535--1.42617299) × R
    2.76399999998844e-05 × 6371000     		dr = 176.094439999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54832558-2.54851733) × cos(-1.42614535) × R
    0.000191749999999935 × 0.14414706039397 × 6371000     		do = 176.095706749335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54832558-2.54851733) × cos(-1.42617299) × R
    0.000191749999999935 × 0.144119709003421 × 6371000     		du = 176.062293217098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42614535)-sin(-1.42617299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14414706039397-0.144119709003421)×R²
    abs(2.54851733-2.54832558)×2.73513905495182e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73513905495182e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73513905495182e-05×40589641000000     		ar = 31006.5329001618m²