Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29674 / 22772
↖ ↑ ↗
← N 48.034019°
W 16.995849°		 ← 408.43 m → N 48.034019°
W 16.990356°		 →
↑
408.44 m
↓
↑
408.44 m
↓
N 48.030346°
W 16.995849°		 ← 408.46 m →
166 826 m²		 N 48.030346°
W 16.990356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452796936035156 y=0.347480773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452796936035156 × 216)
    floor (0.452796936035156 × 65536)
    floor (29674.5)     		tx = 29674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347480773925781 × 216)
    floor (0.347480773925781 × 65536)
    floor (22772.5)     		ty = 22772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29674 / 22772 ti = "16/29674/22772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29674/22772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29674 ÷ 216
    29674 ÷ 65536     		x = 0.452789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22772 ÷ 216
    22772 ÷ 65536     		y = 0.34747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.09442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29663353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34747314453125 × 2 - 1) × π
    0.3050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.958354497204163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29663353} λ = -0.29663353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958354497204163))-π/2
    2×atan(2.60740245345406)-π/2
    2×1.20457405703047-π/2
    2.40914811406093-1.57079632675     		φ = 0.83835179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29663353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.995849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83835179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.034019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29674 KachelY 22772 -0.29663353 0.83835179 -16.995849 48.034019
    Oben rechts KachelX + 1 29675 KachelY 22772 -0.29653766 0.83835179 -16.990356 48.034019
    Unten links KachelX 29674 KachelY + 1 22773 -0.29663353 0.83828768 -16.995849 48.030346
    Unten rechts KachelX + 1 29675 KachelY + 1 22773 -0.29653766 0.83828768 -16.990356 48.030346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83835179-0.83828768) × R
    6.41100000000616e-05 × 6371000     		dl = 408.444810000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83835179-0.83828768) × R
    6.41100000000616e-05 × 6371000     		dr = 408.444810000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29663353--0.29653766) × cos(0.83835179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668689246909098 × 6371000     		do = 408.427213942579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29663353--0.29653766) × cos(0.83828768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668736914011865 × 6371000     		du = 408.45632842598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83835179)-sin(0.83828768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668689246909098-0.668736914011865)×R²
    abs(-0.29653766--0.29663353)×4.7667102766713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7667102766713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7667102766713e-05×40589641000000     		ar = 166825.921684892m²