Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29673 / 29929
↖ ↑ ↗
← S 81.480921°
E145.997315°		 ← 180.96 m → S 81.480921°
E146.008301°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
S 81.482548°
E145.997315°		 ← 180.93 m →
32 740 m²		 S 81.482548°
E146.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905563354492188 y=0.913375854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905563354492188 × 215)
    floor (0.905563354492188 × 32768)
    floor (29673.5)     		tx = 29673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913375854492188 × 215)
    floor (0.913375854492188 × 32768)
    floor (29929.5)     		ty = 29929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29673 / 29929 ti = "15/29673/29929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29673/29929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29673 ÷ 215
    29673 ÷ 32768     		x = 0.905548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29929 ÷ 215
    29929 ÷ 32768     		y = 0.913360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905548095703125 × 2 - 1) × π
    0.81109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54813384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.82672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59722122141464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54813384} λ = 2.54813384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59722122141464))-π/2
    2×atan(0.0744802550645467)-π/2
    2×0.0743429899986626-π/2
    0.148685979997325-1.57079632675     		φ = -1.42211035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54813384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.997315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42211035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.480921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29673 KachelY 29929 2.54813384 -1.42211035 145.997315 -81.480921
    Oben rechts KachelX + 1 29674 KachelY 29929 2.54832558 -1.42211035 146.008301 -81.480921
    Unten links KachelX 29673 KachelY + 1 29930 2.54813384 -1.42213875 145.997315 -81.482548
    Unten rechts KachelX + 1 29674 KachelY + 1 29930 2.54832558 -1.42213875 146.008301 -81.482548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42211035--1.42213875) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dl = 180.936399999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42211035--1.42213875) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dr = 180.936399999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54813384-2.54832558) × cos(-1.42211035) × R
    0.000191739999999996 × 0.148138735692376 × 6371000     		do = 180.962656048327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54813384-2.54832558) × cos(-1.42213875) × R
    0.000191739999999996 × 0.148110648981498 × 6371000     		du = 180.92834600932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42211035)-sin(-1.42213875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148138735692376-0.148110648981498)×R²
    abs(2.54832558-2.54813384)×2.80867108770622e-05×R²
    0.000191739999999996×2.80867108770622e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.80867108770622e-05×40589641000000     		ar = 32739.627554686m²