Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29673 / 23615
↖ ↑ ↗
← N 74.730339°
W 98.500671°		 ← 80.44 m → N 74.730339°
W 98.497925°		 →
↑
80.47 m
↓
↑
80.47 m
↓
N 74.729615°
W 98.500671°		 ← 80.44 m →
6 473 m²		 N 74.729615°
W 98.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226390838623047 y=0.180171966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226390838623047 × 217)
    floor (0.226390838623047 × 131072)
    floor (29673.5)     		tx = 29673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180171966552734 × 217)
    floor (0.180171966552734 × 131072)
    floor (23615.5)     		ty = 23615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29673 / 23615 ti = "17/29673/23615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29673/23615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29673 ÷ 217
    29673 ÷ 131072     		x = 0.226387023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23615 ÷ 217
    23615 ÷ 131072     		y = 0.180168151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226387023925781 × 2 - 1) × π
    -0.547225952148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.71916103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180168151855469 × 2 - 1) × π
    0.639663696289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.00956276897237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71916103} λ = -1.71916103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00956276897237))-π/2
    2×atan(7.46005486668678)-π/2
    2×1.43754339259944-π/2
    2.87508678519888-1.57079632675     		φ = 1.30429046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71916103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.500671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30429046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.730339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29673 KachelY 23615 -1.71916103 1.30429046 -98.500671 74.730339
    Oben rechts KachelX + 1 29674 KachelY 23615 -1.71911309 1.30429046 -98.497925 74.730339
    Unten links KachelX 29673 KachelY + 1 23616 -1.71916103 1.30427783 -98.500671 74.729615
    Unten rechts KachelX + 1 29674 KachelY + 1 23616 -1.71911309 1.30427783 -98.497925 74.729615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30429046-1.30427783) × R
    1.2630000000069e-05 × 6371000     		dl = 80.4657300004394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30429046-1.30427783) × R
    1.2630000000069e-05 × 6371000     		dr = 80.4657300004394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71916103--1.71911309) × cos(1.30429046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263362271394116 × 6371000     		do = 80.4376166285761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71916103--1.71911309) × cos(1.30427783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.263374455496301 × 6371000     		du = 80.4413379670019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30429046)-sin(1.30427783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263362271394116-0.263374455496301)×R²
    abs(-1.71911309--1.71916103)×1.21841021841762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21841021841762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21841021841762e-05×40589641000000     		ar = 6472.6212617301m²