Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29673 / 22843
↖ ↑ ↗
← N 47.772560°
W 17.001343°		 ← 410.54 m → N 47.772560°
W 16.995849°		 →
↑
410.55 m
↓
↑
410.55 m
↓
N 47.768868°
W 17.001343°		 ← 410.57 m →
168 551 m²		 N 47.768868°
W 16.995849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452781677246094 y=0.348564147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452781677246094 × 216)
    floor (0.452781677246094 × 65536)
    floor (29673.5)     		tx = 29673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348564147949219 × 216)
    floor (0.348564147949219 × 65536)
    floor (22843.5)     		ty = 22843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29673 / 22843 ti = "16/29673/22843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29673/22843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29673 ÷ 216
    29673 ÷ 65536     		x = 0.452774047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22843 ÷ 216
    22843 ÷ 65536     		y = 0.348556518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452774047851562 × 2 - 1) × π
    -0.094451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29672941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348556518554688 × 2 - 1) × π
    0.302886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.951547457458115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29672941} λ = -0.29672941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951547457458115))-π/2
    2×atan(2.58971403251218)-π/2
    2×1.20229239854071-π/2
    2.40458479708141-1.57079632675     		φ = 0.83378847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29672941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.001343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83378847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.772560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29673 KachelY 22843 -0.29672941 0.83378847 -17.001343 47.772560
    Oben rechts KachelX + 1 29674 KachelY 22843 -0.29663353 0.83378847 -16.995849 47.772560
    Unten links KachelX 29673 KachelY + 1 22844 -0.29672941 0.83372403 -17.001343 47.768868
    Unten rechts KachelX + 1 29674 KachelY + 1 22844 -0.29663353 0.83372403 -16.995849 47.768868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83378847-0.83372403) × R
    6.44400000000545e-05 × 6371000     		dl = 410.547240000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83378847-0.83372403) × R
    6.44400000000545e-05 × 6371000     		dr = 410.547240000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29672941--0.29663353) × cos(0.83378847) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.67207529282409 × 6371000     		do = 410.538187293235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29672941--0.29663353) × cos(0.83372403) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.672123008141318 × 6371000     		du = 410.567334265382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83378847)-sin(0.83372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67207529282409-0.672123008141318)×R²
    abs(-0.29663353--0.29672941)×4.77153172284694e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77153172284694e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77153172284694e-05×40589641000000     		ar = 168551.302870922m²