Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29673 / 16742
↖ ↑ ↗
← N 65.717076°
W 17.001343°		 ← 251.21 m → N 65.717076°
W 16.995849°		 →
↑
251.21 m
↓
↑
251.21 m
↓
N 65.714817°
W 17.001343°		 ← 251.23 m →
63 108 m²		 N 65.714817°
W 16.995849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452781677246094 y=0.255470275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452781677246094 × 216)
    floor (0.452781677246094 × 65536)
    floor (29673.5)     		tx = 29673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255470275878906 × 216)
    floor (0.255470275878906 × 65536)
    floor (16742.5)     		ty = 16742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29673 / 16742 ti = "16/29673/16742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29673/16742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29673 ÷ 216
    29673 ÷ 65536     		x = 0.452774047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16742 ÷ 216
    16742 ÷ 65536     		y = 0.255462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452774047851562 × 2 - 1) × π
    -0.094451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29672941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255462646484375 × 2 - 1) × π
    0.48907470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53647350662204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29672941} λ = -0.29672941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53647350662204))-π/2
    2×atan(4.64816959500665)-π/2
    2×1.35888783804211-π/2
    2.71777567608422-1.57079632675     		φ = 1.14697935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29672941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.001343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14697935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.717076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29673 KachelY 16742 -0.29672941 1.14697935 -17.001343 65.717076
    Oben rechts KachelX + 1 29674 KachelY 16742 -0.29663353 1.14697935 -16.995849 65.717076
    Unten links KachelX 29673 KachelY + 1 16743 -0.29672941 1.14693992 -17.001343 65.714817
    Unten rechts KachelX + 1 29674 KachelY + 1 16743 -0.29663353 1.14693992 -16.995849 65.714817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14697935-1.14693992) × R
    3.94300000001735e-05 × 6371000     		dl = 251.208530001105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14697935-1.14693992) × R
    3.94300000001735e-05 × 6371000     		dr = 251.208530001105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29672941--0.29663353) × cos(1.14697935) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.411242713502508 × 6371000     		do = 251.208220182349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29672941--0.29663353) × cos(1.14693992) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.411278654648277 × 6371000     		du = 251.230174884435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14697935)-sin(1.14693992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411242713502508-0.411278654648277)×R²
    abs(-0.29663353--0.29672941)×3.59411457693803e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.59411457693803e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.59411457693803e-05×40589641000000     		ar = 63108.4053288388m²