Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29671 / 30079
↖ ↑ ↗
← S 81.721606°
E145.975342°		 ← 175.90 m → S 81.721606°
E145.986328°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
S 81.723188°
E145.975342°		 ← 175.86 m →
30 938 m²		 S 81.723188°
E145.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905502319335938 y=0.917953491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905502319335938 × 215)
    floor (0.905502319335938 × 32768)
    floor (29671.5)     		tx = 29671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917953491210938 × 215)
    floor (0.917953491210938 × 32768)
    floor (30079.5)     		ty = 30079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29671 / 30079 ti = "15/29671/30079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29671/30079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29671 ÷ 215
    29671 ÷ 32768     		x = 0.905487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30079 ÷ 215
    30079 ÷ 32768     		y = 0.917938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905487060546875 × 2 - 1) × π
    0.81097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54775034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.83587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62598336118668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54775034} λ = 2.54775034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62598336118668))-π/2
    2×atan(0.0723685576019284)-π/2
    2×0.0722426167134826-π/2
    0.144485233426965-1.57079632675     		φ = -1.42631109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54775034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.975342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42631109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.721606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29671 KachelY 30079 2.54775034 -1.42631109 145.975342 -81.721606
    Oben rechts KachelX + 1 29672 KachelY 30079 2.54794209 -1.42631109 145.986328 -81.721606
    Unten links KachelX 29671 KachelY + 1 30080 2.54775034 -1.42633870 145.975342 -81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 29672 KachelY + 1 30080 2.54794209 -1.42633870 145.986328 -81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42631109--1.42633870) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dl = 175.903310000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42631109--1.42633870) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dr = 175.903310000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54775034-2.54794209) × cos(-1.42631109) × R
    0.000191749999999935 × 0.143983049357561 × 6371000     		do = 175.895344429824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54775034-2.54794209) × cos(-1.42633870) × R
    0.000191749999999935 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 175.861966358862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42631109)-sin(-1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143983049357561-0.143955726994628)×R²
    abs(2.54794209-2.54775034)×2.7322362932819e-05×R²
    0.000191749999999935×2.7322362932819e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.7322362932819e-05×40589641000000     		ar = 30937.6376447277m²