Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29670 / 30069
↖ ↑ ↗
← S 81.705773°
E145.964355°		 ← 176.23 m → S 81.705773°
E145.975342°		 →
↑
176.22 m
↓
↑
176.22 m
↓
S 81.707357°
E145.964355°		 ← 176.20 m →
31 053 m²		 S 81.707357°
E145.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905471801757812 y=0.917648315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905471801757812 × 215)
    floor (0.905471801757812 × 32768)
    floor (29670.5)     		tx = 29670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917648315429688 × 215)
    floor (0.917648315429688 × 32768)
    floor (30069.5)     		ty = 30069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29670 / 30069 ti = "15/29670/30069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29670/30069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29670 ÷ 215
    29670 ÷ 32768     		x = 0.90545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30069 ÷ 215
    30069 ÷ 32768     		y = 0.917633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90545654296875 × 2 - 1) × π
    0.8109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54755859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.83526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62406588520187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54755859} λ = 2.54755859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62406588520187))-π/2
    2×atan(0.0725074556975087)-π/2
    2×0.0723807897781857-π/2
    0.144761579556371-1.57079632675     		φ = -1.42603475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54755859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42603475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.705773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29670 KachelY 30069 2.54755859 -1.42603475 145.964355 -81.705773
    Oben rechts KachelX + 1 29671 KachelY 30069 2.54775034 -1.42603475 145.975342 -81.705773
    Unten links KachelX 29670 KachelY + 1 30070 2.54755859 -1.42606241 145.964355 -81.707357
    Unten rechts KachelX + 1 29671 KachelY + 1 30070 2.54775034 -1.42606241 145.975342 -81.707357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42603475--1.42606241) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dl = 176.221859999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42603475--1.42606241) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dr = 176.221859999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54755859-2.54775034) × cos(-1.42603475) × R
    0.000191749999999935 × 0.144256504436334 × 6371000     		do = 176.229407887165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54755859-2.54775034) × cos(-1.42606241) × R
    0.000191749999999935 × 0.144229133695678 × 6371000     		du = 176.195970716079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42603475)-sin(-1.42606241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144256504436334-0.144229133695678)×R²
    abs(2.54775034-2.54755859)×2.73707406552026e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73707406552026e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73707406552026e-05×40589641000000     		ar = 31052.5278662415m²