Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29670 / 22770
↖ ↑ ↗
← N 48.041365°
W 17.017822°		 ← 408.37 m → N 48.041365°
W 17.012329°		 →
↑
408.44 m
↓
↑
408.44 m
↓
N 48.037692°
W 17.017822°		 ← 408.40 m →
166 802 m²		 N 48.037692°
W 17.012329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452735900878906 y=0.347450256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452735900878906 × 216)
    floor (0.452735900878906 × 65536)
    floor (29670.5)     		tx = 29670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347450256347656 × 216)
    floor (0.347450256347656 × 65536)
    floor (22770.5)     		ty = 22770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29670 / 22770 ti = "16/29670/22770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29670/22770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29670 ÷ 216
    29670 ÷ 65536     		x = 0.452728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22770 ÷ 216
    22770 ÷ 65536     		y = 0.347442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.09454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29701703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347442626953125 × 2 - 1) × π
    0.30511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.958546244802643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29701703} λ = -0.29701703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958546244802643))-π/2
    2×atan(2.60790246454921)-π/2
    2×1.20463816223917-π/2
    2.40927632447835-1.57079632675     		φ = 0.83848000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29701703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.017822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83848000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.041365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29670 KachelY 22770 -0.29701703 0.83848000 -17.017822 48.041365
    Oben rechts KachelX + 1 29671 KachelY 22770 -0.29692116 0.83848000 -17.012329 48.041365
    Unten links KachelX 29670 KachelY + 1 22771 -0.29701703 0.83841589 -17.017822 48.037692
    Unten rechts KachelX + 1 29671 KachelY + 1 22771 -0.29692116 0.83841589 -17.012329 48.037692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83848000-0.83841589) × R
    6.41099999999506e-05 × 6371000     		dl = 408.444809999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83848000-0.83841589) × R
    6.41099999999506e-05 × 6371000     		dr = 408.444809999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29701703--0.29692116) × cos(0.83848000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668593911894915 × 6371000     		do = 408.368984481863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29701703--0.29692116) × cos(0.83841589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668641584493806 × 6371000     		du = 408.398102322229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83848000)-sin(0.83841589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668593911894915-0.668641584493806)×R²
    abs(-0.29692116--0.29701703)×4.76725988907134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76725988907134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76725988907134e-05×40589641000000     		ar = 166802.138848701m²