Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29670 / 16750
↖ ↑ ↗
← N 65.698997°
W 17.017822°		 ← 251.36 m → N 65.698997°
W 17.012329°		 →
↑
251.40 m
↓
↑
251.40 m
↓
N 65.696737°
W 17.017822°		 ← 251.38 m →
63 194 m²		 N 65.696737°
W 17.012329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452735900878906 y=0.255592346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452735900878906 × 216)
    floor (0.452735900878906 × 65536)
    floor (29670.5)     		tx = 29670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255592346191406 × 216)
    floor (0.255592346191406 × 65536)
    floor (16750.5)     		ty = 16750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29670 / 16750 ti = "16/29670/16750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29670/16750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29670 ÷ 216
    29670 ÷ 65536     		x = 0.452728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16750 ÷ 216
    16750 ÷ 65536     		y = 0.255584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.09454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29701703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255584716796875 × 2 - 1) × π
    0.48883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.53570651622812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29701703} λ = -0.29701703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53570651622812))-π/2
    2×atan(4.64460586042776)-π/2
    2×1.35873007329633-π/2
    2.71746014659267-1.57079632675     		φ = 1.14666382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29701703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.017822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14666382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.698997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29670 KachelY 16750 -0.29701703 1.14666382 -17.017822 65.698997
    Oben rechts KachelX + 1 29671 KachelY 16750 -0.29692116 1.14666382 -17.012329 65.698997
    Unten links KachelX 29670 KachelY + 1 16751 -0.29701703 1.14662436 -17.017822 65.696737
    Unten rechts KachelX + 1 29671 KachelY + 1 16751 -0.29692116 1.14662436 -17.012329 65.696737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14666382-1.14662436) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dl = 251.399659999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14666382-1.14662436) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dr = 251.399659999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29701703--0.29692116) × cos(1.14666382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411530306787276 × 6371000     		do = 251.357678370011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29701703--0.29692116) × cos(1.14662436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411566270156014 × 6371000     		du = 251.379644355804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14666382)-sin(1.14662436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411530306787276-0.411566270156014)×R²
    abs(-0.29692116--0.29701703)×3.59633687381233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59633687381233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59633687381233e-05×40589641000000     		ar = 63193.9960093365m²