Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29669 / 42335
↖ ↑ ↗
← S 46.434071°
W 17.023315°		 ← 420.95 m → S 46.434071°
W 17.017822°		 →
↑
420.93 m
↓
↑
420.93 m
↓
S 46.437857°
W 17.023315°		 ← 420.92 m →
177 184 m²		 S 46.437857°
W 17.017822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452720642089844 y=0.645988464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452720642089844 × 216)
    floor (0.452720642089844 × 65536)
    floor (29669.5)     		tx = 29669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645988464355469 × 216)
    floor (0.645988464355469 × 65536)
    floor (42335.5)     		ty = 42335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29669 / 42335 ti = "16/29669/42335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29669/42335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29669 ÷ 216
    29669 ÷ 65536     		x = 0.452713012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42335 ÷ 216
    42335 ÷ 65536     		y = 0.645980834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452713012695312 × 2 - 1) × π
    -0.094573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29711290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645980834960938 × 2 - 1) × π
    -0.291961669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917224637330154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29711290} λ = -0.29711290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917224637330154))-π/2
    2×atan(0.399626612199191)-π/2
    2×0.380184449638721-π/2
    0.760368899277442-1.57079632675     		φ = -0.81042743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29711290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.023315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81042743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.434071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29669 KachelY 42335 -0.29711290 -0.81042743 -17.023315 -46.434071
    Oben rechts KachelX + 1 29670 KachelY 42335 -0.29701703 -0.81042743 -17.017822 -46.434071
    Unten links KachelX 29669 KachelY + 1 42336 -0.29711290 -0.81049350 -17.023315 -46.437857
    Unten rechts KachelX + 1 29670 KachelY + 1 42336 -0.29701703 -0.81049350 -17.017822 -46.437857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81042743--0.81049350) × R
    6.60700000000292e-05 × 6371000     		dl = 420.931970000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81042743--0.81049350) × R
    6.60700000000292e-05 × 6371000     		dr = 420.931970000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29711290--0.29701703) × cos(-0.81042743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689188787909791 × 6371000     		do = 420.948082876415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29711290--0.29701703) × cos(-0.81049350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689140913284706 × 6371000     		du = 420.918841640919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81042743)-sin(-0.81049350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689188787909791-0.689140913284706)×R²
    abs(-0.29701703--0.29711290)×4.78746250854867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78746250854867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78746250854867e-05×40589641000000     		ar = 177184.351572368m²