Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29669 / 42333
↖ ↑ ↗
← S 46.426499°
W 17.023315°		 ← 421.01 m → S 46.426499°
W 17.017822°		 →
↑
421 m
↓
↑
421 m
↓
S 46.430285°
W 17.023315°		 ← 420.98 m →
177 236 m²		 S 46.430285°
W 17.017822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452720642089844 y=0.645957946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452720642089844 × 216)
    floor (0.452720642089844 × 65536)
    floor (29669.5)     		tx = 29669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645957946777344 × 216)
    floor (0.645957946777344 × 65536)
    floor (42333.5)     		ty = 42333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29669 / 42333 ti = "16/29669/42333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29669/42333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29669 ÷ 216
    29669 ÷ 65536     		x = 0.452713012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42333 ÷ 216
    42333 ÷ 65536     		y = 0.645950317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452713012695312 × 2 - 1) × π
    -0.094573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29711290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645950317382812 × 2 - 1) × π
    -0.291900634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.917032889731674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29711290} λ = -0.29711290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917032889731674))-π/2
    2×atan(0.399703246989403)-π/2
    2×0.38025052937654-π/2
    0.76050105875308-1.57079632675     		φ = -0.81029527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29711290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.023315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81029527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.426499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29669 KachelY 42333 -0.29711290 -0.81029527 -17.023315 -46.426499
    Oben rechts KachelX + 1 29670 KachelY 42333 -0.29701703 -0.81029527 -17.017822 -46.426499
    Unten links KachelX 29669 KachelY + 1 42334 -0.29711290 -0.81036135 -17.023315 -46.430285
    Unten rechts KachelX + 1 29670 KachelY + 1 42334 -0.29701703 -0.81036135 -17.017822 -46.430285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81029527--0.81036135) × R
    6.60799999999684e-05 × 6371000     		dl = 420.995679999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81029527--0.81036135) × R
    6.60799999999684e-05 × 6371000     		dr = 420.995679999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29711290--0.29701703) × cos(-0.81029527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689284542624134 × 6371000     		do = 421.006568684856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29711290--0.29701703) × cos(-0.81036135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689236666771762 × 6371000     		du = 420.977326699748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81029527)-sin(-0.81036135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689284542624134-0.689236666771762)×R²
    abs(-0.29701703--0.29711290)×4.78758523727585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78758523727585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78758523727585e-05×40589641000000     		ar = 177235.791357788m²