Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29669 / 30070
↖ ↑ ↗
← S 81.707357°
E145.953369°		 ← 176.19 m → S 81.707357°
E145.964355°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
S 81.708942°
E145.953369°		 ← 176.15 m →
31 034 m²		 S 81.708942°
E145.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905441284179688 y=0.917678833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905441284179688 × 215)
    floor (0.905441284179688 × 32768)
    floor (29669.5)     		tx = 29669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917678833007812 × 215)
    floor (0.917678833007812 × 32768)
    floor (30070.5)     		ty = 30070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29669 / 30070 ti = "15/29669/30070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29669/30070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29669 ÷ 215
    29669 ÷ 32768     		x = 0.905426025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30070 ÷ 215
    30070 ÷ 32768     		y = 0.91766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905426025390625 × 2 - 1) × π
    0.81085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54736685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.8353271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62425763280035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54736685} λ = 2.54736685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62425763280035))-π/2
    2×atan(0.0724935538998676)-π/2
    2×0.0723669606708027-π/2
    0.144733921341605-1.57079632675     		φ = -1.42606241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54736685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42606241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.707357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29669 KachelY 30070 2.54736685 -1.42606241 145.953369 -81.707357
    Oben rechts KachelX + 1 29670 KachelY 30070 2.54755859 -1.42606241 145.964355 -81.707357
    Unten links KachelX 29669 KachelY + 1 30071 2.54736685 -1.42609006 145.953369 -81.708942
    Unten rechts KachelX + 1 29670 KachelY + 1 30071 2.54755859 -1.42609006 145.964355 -81.708942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42606241--1.42609006) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42606241--1.42609006) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54736685-2.54755859) × cos(-1.42606241) × R
    0.000191739999999996 × 0.144229133695678 × 6371000     		do = 176.186781878027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54736685-2.54755859) × cos(-1.42609006) × R
    0.000191739999999996 × 0.14420177274016 × 6371000     		du = 176.153358404015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42606241)-sin(-1.42609006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144229133695678-0.14420177274016)×R²
    abs(2.54755859-2.54736685)×2.73609555183629e-05×R²
    0.000191739999999996×2.73609555183629e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.73609555183629e-05×40589641000000     		ar = 31033.7936431899m²