Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29668 / 29666
↖ ↑ ↗
← S 81.042039°
E145.942383°		 ← 190.22 m → S 81.042039°
E145.953369°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
S 81.043750°
E145.942383°		 ← 190.19 m →
36 184 m²		 S 81.043750°
E145.953369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905410766601562 y=0.905349731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905410766601562 × 215)
    floor (0.905410766601562 × 32768)
    floor (29668.5)     		tx = 29668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905349731445312 × 215)
    floor (0.905349731445312 × 32768)
    floor (29666.5)     		ty = 29666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29668 / 29666 ti = "15/29668/29666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29668/29666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29668 ÷ 215
    29668 ÷ 32768     		x = 0.9053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29666 ÷ 215
    29666 ÷ 32768     		y = 0.90533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9053955078125 × 2 - 1) × π
    0.810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54717510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.8106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54679160301434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54717510} λ = 2.54717510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54679160301434))-π/2
    2×atan(0.0783325852920917)-π/2
    2×0.0781729564811146-π/2
    0.156345912962229-1.57079632675     		φ = -1.41445041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54717510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41445041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.042039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29668 KachelY 29666 2.54717510 -1.41445041 145.942383 -81.042039
    Oben rechts KachelX + 1 29669 KachelY 29666 2.54736685 -1.41445041 145.953369 -81.042039
    Unten links KachelX 29668 KachelY + 1 29667 2.54717510 -1.41448027 145.942383 -81.043750
    Unten rechts KachelX + 1 29669 KachelY + 1 29667 2.54736685 -1.41448027 145.953369 -81.043750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41445041--1.41448027) × R
    2.98600000001592e-05 × 6371000     		dl = 190.238060001014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41445041--1.41448027) × R
    2.98600000001592e-05 × 6371000     		dr = 190.238060001014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54717510-2.54736685) × cos(-1.41445041) × R
    0.000191749999999935 × 0.155709740373345 × 6371000     		do = 190.221130447323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54717510-2.54736685) × cos(-1.41448027) × R
    0.000191749999999935 × 0.155680244510736 × 6371000     		du = 190.185097143848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41445041)-sin(-1.41448027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155709740373345-0.155680244510736)×R²
    abs(2.54736685-2.54717510)×2.94958626086694e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94958626086694e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94958626086694e-05×40589641000000     		ar = 36183.8713770749m²