Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29667 / 30085
↖ ↑ ↗
← S 81.731092°
E145.931396°		 ← 175.70 m → S 81.731092°
E145.942383°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
S 81.732671°
E145.931396°		 ← 175.66 m →
30 858 m²		 S 81.732671°
E145.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905380249023438 y=0.918136596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905380249023438 × 215)
    floor (0.905380249023438 × 32768)
    floor (29667.5)     		tx = 29667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918136596679688 × 215)
    floor (0.918136596679688 × 32768)
    floor (30085.5)     		ty = 30085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29667 / 30085 ti = "15/29667/30085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29667/30085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29667 ÷ 215
    29667 ÷ 32768     		x = 0.905364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30085 ÷ 215
    30085 ÷ 32768     		y = 0.918121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905364990234375 × 2 - 1) × π
    0.81072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54698335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.83624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62713384677756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54698335} λ = 2.54698335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62713384677756))-π/2
    2×atan(0.0722853464949425)-π/2
    2×0.0721598386342377-π/2
    0.144319677268475-1.57079632675     		φ = -1.42647665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54698335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.931396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42647665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.731092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29667 KachelY 30085 2.54698335 -1.42647665 145.931396 -81.731092
    Oben rechts KachelX + 1 29668 KachelY 30085 2.54717510 -1.42647665 145.942383 -81.731092
    Unten links KachelX 29667 KachelY + 1 30086 2.54698335 -1.42650422 145.931396 -81.732671
    Unten rechts KachelX + 1 29668 KachelY + 1 30086 2.54717510 -1.42650422 145.942383 -81.732671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42647665--1.42650422) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42647665--1.42650422) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54698335-2.54717510) × cos(-1.42647665) × R
    0.000191749999999935 × 0.143819212494692 × 6371000     		do = 175.695194887546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54698335-2.54717510) × cos(-1.42650422) × R
    0.000191749999999935 × 0.143791929058351 × 6371000     		du = 175.661864370837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42647665)-sin(-1.42650422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143819212494692-0.143791929058351)×R²
    abs(2.54717510-2.54698335)×2.72834363407026e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72834363407026e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72834363407026e-05×40589641000000     		ar = 30857.6649437605m²