Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29667 / 22779
↖ ↑ ↗
← N 48.008300°
W 17.034302°		 ← 408.63 m → N 48.008300°
W 17.028809°		 →
↑
408.70 m
↓
↑
408.70 m
↓
N 48.004625°
W 17.034302°		 ← 408.66 m →
167 013 m²		 N 48.004625°
W 17.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452690124511719 y=0.347587585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452690124511719 × 216)
    floor (0.452690124511719 × 65536)
    floor (29667.5)     		tx = 29667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347587585449219 × 216)
    floor (0.347587585449219 × 65536)
    floor (22779.5)     		ty = 22779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29667 / 22779 ti = "16/29667/22779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29667/22779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29667 ÷ 216
    29667 ÷ 65536     		x = 0.452682495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22779 ÷ 216
    22779 ÷ 65536     		y = 0.347579956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452682495117188 × 2 - 1) × π
    -0.094635009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29730465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347579956054688 × 2 - 1) × π
    0.304840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.957683380609482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29730465} λ = -0.29730465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957683380609482))-π/2
    2×atan(2.60565316945095)-π/2
    2×1.20434961681862-π/2
    2.40869923363725-1.57079632675     		φ = 0.83790291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29730465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.034302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83790291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.008300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29667 KachelY 22779 -0.29730465 0.83790291 -17.034302 48.008300
    Oben rechts KachelX + 1 29668 KachelY 22779 -0.29720878 0.83790291 -17.028809 48.008300
    Unten links KachelX 29667 KachelY + 1 22780 -0.29730465 0.83783876 -17.034302 48.004625
    Unten rechts KachelX + 1 29668 KachelY + 1 22780 -0.29720878 0.83783876 -17.028809 48.004625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83790291-0.83783876) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dl = 408.699649999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83790291-0.83783876) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dr = 408.699649999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29730465--0.29720878) × cos(0.83790291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669022940658229 × 6371000     		do = 408.631030003473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29730465--0.29720878) × cos(0.83783876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669070618240126 × 6371000     		du = 408.660150887399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83790291)-sin(0.83783876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669022940658229-0.669070618240126)×R²
    abs(-0.29720878--0.29730465)×4.76775818966102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76775818966102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76775818966102e-05×40589641000000     		ar = 167013.309846361m²