Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29667 / 22778
↖ ↑ ↗
← N 48.011975°
W 17.034302°		 ← 408.60 m → N 48.011975°
W 17.028809°		 →
↑
408.64 m
↓
↑
408.64 m
↓
N 48.008300°
W 17.034302°		 ← 408.63 m →
166 975 m²		 N 48.008300°
W 17.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452690124511719 y=0.347572326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452690124511719 × 216)
    floor (0.452690124511719 × 65536)
    floor (29667.5)     		tx = 29667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347572326660156 × 216)
    floor (0.347572326660156 × 65536)
    floor (22778.5)     		ty = 22778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29667 / 22778 ti = "16/29667/22778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29667/22778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29667 ÷ 216
    29667 ÷ 65536     		x = 0.452682495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22778 ÷ 216
    22778 ÷ 65536     		y = 0.347564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452682495117188 × 2 - 1) × π
    -0.094635009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29730465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347564697265625 × 2 - 1) × π
    0.30487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957779254408722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29730465} λ = -0.29730465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957779254408722))-π/2
    2×atan(2.60590299529549)-π/2
    2×1.20438168656165-π/2
    2.40876337312329-1.57079632675     		φ = 0.83796705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29730465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.034302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83796705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.011975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29667 KachelY 22778 -0.29730465 0.83796705 -17.034302 48.011975
    Oben rechts KachelX + 1 29668 KachelY 22778 -0.29720878 0.83796705 -17.028809 48.011975
    Unten links KachelX 29667 KachelY + 1 22779 -0.29730465 0.83790291 -17.034302 48.008300
    Unten rechts KachelX + 1 29668 KachelY + 1 22779 -0.29720878 0.83790291 -17.028809 48.008300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83796705-0.83790291) × R
    6.41400000001013e-05 × 6371000     		dl = 408.635940000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83796705-0.83790291) × R
    6.41400000001013e-05 × 6371000     		dr = 408.635940000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29730465--0.29720878) × cos(0.83796705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668975267756001 × 6371000     		do = 408.601911977832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29730465--0.29720878) × cos(0.83790291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669022940658229 × 6371000     		du = 408.631030003473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83796705)-sin(0.83790291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668975267756001-0.669022940658229)×R²
    abs(-0.29720878--0.29730465)×4.76729022281797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76729022281797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76729022281797e-05×40589641000000     		ar = 166975.375780144m²