Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29666 / 42338
↖ ↑ ↗
← S 46.445427°
W 17.039795°		 ← 420.90 m → S 46.445427°
W 17.034302°		 →
↑
420.87 m
↓
↑
420.87 m
↓
S 46.449212°
W 17.039795°		 ← 420.88 m →
177 139 m²		 S 46.449212°
W 17.034302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452674865722656 y=0.646034240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452674865722656 × 216)
    floor (0.452674865722656 × 65536)
    floor (29666.5)     		tx = 29666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646034240722656 × 216)
    floor (0.646034240722656 × 65536)
    floor (42338.5)     		ty = 42338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29666 / 42338 ti = "16/29666/42338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29666/42338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29666 ÷ 216
    29666 ÷ 65536     		x = 0.452667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42338 ÷ 216
    42338 ÷ 65536     		y = 0.646026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29740053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.29205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.917512258727875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29740053} λ = -0.29740053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917512258727875))-π/2
    2×atan(0.399511687562608)-π/2
    2×0.380085347244963-π/2
    0.760170694489926-1.57079632675     		φ = -0.81062563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29740053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.039795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81062563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.445427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29666 KachelY 42338 -0.29740053 -0.81062563 -17.039795 -46.445427
    Oben rechts KachelX + 1 29667 KachelY 42338 -0.29730465 -0.81062563 -17.034302 -46.445427
    Unten links KachelX 29666 KachelY + 1 42339 -0.29740053 -0.81069169 -17.039795 -46.449212
    Unten rechts KachelX + 1 29667 KachelY + 1 42339 -0.29730465 -0.81069169 -17.034302 -46.449212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81062563--0.81069169) × R
    6.60599999999789e-05 × 6371000     		dl = 420.868259999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81062563--0.81069169) × R
    6.60599999999789e-05 × 6371000     		dr = 420.868259999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29740053--0.29730465) × cos(-0.81062563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.689045162257121 × 6371000     		do = 420.90425715157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29740053--0.29730465) × cos(-0.81069169) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688997285855951 × 6371000     		du = 420.875011781058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81062563)-sin(-0.81069169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689045162257121-0.688997285855951)×R²
    abs(-0.29730465--0.29740053)×4.78764011704325e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78764011704325e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78764011704325e-05×40589641000000     		ar = 177139.088174403m²