Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29666 / 30074
↖ ↑ ↗
← S 81.713693°
E145.920410°		 ← 176.06 m → S 81.713693°
E145.931396°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
S 81.715276°
E145.920410°		 ← 176.03 m →
30 989 m²		 S 81.715276°
E145.931396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905349731445312 y=0.917800903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905349731445312 × 215)
    floor (0.905349731445312 × 32768)
    floor (29666.5)     		tx = 29666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917800903320312 × 215)
    floor (0.917800903320312 × 32768)
    floor (30074.5)     		ty = 30074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29666 / 30074 ti = "15/29666/30074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29666/30074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29666 ÷ 215
    29666 ÷ 32768     		x = 0.90533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30074 ÷ 215
    30074 ÷ 32768     		y = 0.91778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    0.8106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54679160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54679160} λ = 2.54679160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62502462319428))-π/2
    2×atan(0.0724379733580008)-π/2
    2×0.0723116704736377-π/2
    0.144623340947275-1.57079632675     		φ = -1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54679160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29666 KachelY 30074 2.54679160 -1.42617299 145.920410 -81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 29667 KachelY 30074 2.54698335 -1.42617299 145.931396 -81.713693
    Unten links KachelX 29666 KachelY + 1 30075 2.54679160 -1.42620062 145.920410 -81.715276
    Unten rechts KachelX + 1 29667 KachelY + 1 30075 2.54698335 -1.42620062 145.931396 -81.715276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42617299--1.42620062) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42617299--1.42620062) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54679160-2.54698335) × cos(-1.42617299) × R
    0.000191749999999935 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 176.062293217098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54679160-2.54698335) × cos(-1.42620062) × R
    0.000191749999999935 × 0.144092367398411 × 6371000     		du = 176.028891639259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42617299)-sin(-1.42620062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.144092367398411)×R²
    abs(2.54698335-2.54679160)×2.73416050101949e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73416050101949e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73416050101949e-05×40589641000000     		ar = 30989.4341502493m²