Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29666 / 22747
↖ ↑ ↗
← N 48.125768°
W 17.039795°		 ← 407.74 m → N 48.125768°
W 17.034302°		 →
↑
407.68 m
↓
↑
407.68 m
↓
N 48.122101°
W 17.039795°		 ← 407.77 m →
166 234 m²		 N 48.122101°
W 17.034302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452674865722656 y=0.347099304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452674865722656 × 216)
    floor (0.452674865722656 × 65536)
    floor (29666.5)     		tx = 29666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347099304199219 × 216)
    floor (0.347099304199219 × 65536)
    floor (22747.5)     		ty = 22747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29666 / 22747 ti = "16/29666/22747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29666/22747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29666 ÷ 216
    29666 ÷ 65536     		x = 0.452667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22747 ÷ 216
    22747 ÷ 65536     		y = 0.347091674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29740053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347091674804688 × 2 - 1) × π
    0.305816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.960751342185165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29740053} λ = -0.29740053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960751342185165))-π/2
    2×atan(2.61365948851413)-π/2
    2×1.20537471526252-π/2
    2.41074943052504-1.57079632675     		φ = 0.83995310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29740053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.039795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83995310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.125768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29666 KachelY 22747 -0.29740053 0.83995310 -17.039795 48.125768
    Oben rechts KachelX + 1 29667 KachelY 22747 -0.29730465 0.83995310 -17.034302 48.125768
    Unten links KachelX 29666 KachelY + 1 22748 -0.29740053 0.83988911 -17.039795 48.122101
    Unten rechts KachelX + 1 29667 KachelY + 1 22748 -0.29730465 0.83988911 -17.034302 48.122101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83995310-0.83988911) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dl = 407.680290000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83995310-0.83988911) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dr = 407.680290000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29740053--0.29730465) × cos(0.83995310) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667497748869543 × 6371000     		do = 407.741987793597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29740053--0.29730465) × cos(0.83988911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667545395212953 × 6371000     		du = 407.771092632986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83995310)-sin(0.83988911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667497748869543-0.667545395212953)×R²
    abs(-0.29730465--0.29740053)×4.7646343410479e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7646343410479e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7646343410479e-05×40589641000000     		ar = 166234.304620325m²