Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29666 / 22743
↖ ↑ ↗
← N 48.140432°
W 17.039795°		 ← 407.63 m → N 48.140432°
W 17.034302°		 →
↑
407.62 m
↓
↑
407.62 m
↓
N 48.136767°
W 17.039795°		 ← 407.65 m →
166 161 m²		 N 48.136767°
W 17.034302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452674865722656 y=0.347038269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452674865722656 × 216)
    floor (0.452674865722656 × 65536)
    floor (29666.5)     		tx = 29666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347038269042969 × 216)
    floor (0.347038269042969 × 65536)
    floor (22743.5)     		ty = 22743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29666 / 22743 ti = "16/29666/22743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29666/22743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29666 ÷ 216
    29666 ÷ 65536     		x = 0.452667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22743 ÷ 216
    22743 ÷ 65536     		y = 0.347030639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29740053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347030639648438 × 2 - 1) × π
    0.305938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.961134837382126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29740053} λ = -0.29740053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961134837382126))-π/2
    2×atan(2.61466200659261)-π/2
    2×1.20550268807841-π/2
    2.41100537615683-1.57079632675     		φ = 0.84020905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29740053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.039795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84020905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.140432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29666 KachelY 22743 -0.29740053 0.84020905 -17.039795 48.140432
    Oben rechts KachelX + 1 29667 KachelY 22743 -0.29730465 0.84020905 -17.034302 48.140432
    Unten links KachelX 29666 KachelY + 1 22744 -0.29740053 0.84014507 -17.039795 48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 29667 KachelY + 1 22744 -0.29730465 0.84014507 -17.034302 48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84020905-0.84014507) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dl = 407.616579999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84020905-0.84014507) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dr = 407.616579999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29740053--0.29730465) × cos(0.84020905) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667307143613514 × 6371000     		do = 407.625556290857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29740053--0.29730465) × cos(0.84014507) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 407.654663258372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84020905)-sin(0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667307143613514-0.667354793440794)×R²
    abs(-0.29730465--0.29740053)×4.7649827279117e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7649827279117e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7649827279117e-05×40589641000000     		ar = 166160.867473975m²