Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29664 / 29792
↖ ↑ ↗
← S 81.255032°
E145.898438°		 ← 185.73 m → S 81.255032°
E145.909424°		 →
↑
185.71 m
↓
↑
185.71 m
↓
S 81.256703°
E145.898438°		 ← 185.70 m →
34 490 m²		 S 81.256703°
E145.909424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905288696289062 y=0.909194946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905288696289062 × 215)
    floor (0.905288696289062 × 32768)
    floor (29664.5)     		tx = 29664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909194946289062 × 215)
    floor (0.909194946289062 × 32768)
    floor (29792.5)     		ty = 29792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29664 / 29792 ti = "15/29664/29792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29664/29792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29664 ÷ 215
    29664 ÷ 32768     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29792 ÷ 215
    29792 ÷ 32768     		y = 0.9091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9091796875 × 2 - 1) × π
    -0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57095180042285))-π/2
    2×atan(0.076462733516113)-π/2
    2×0.0763142396865722-π/2
    0.152628479373144-1.57079632675     		φ = -1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29664 KachelY 29792 2.54640811 -1.41816785 145.898438 -81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 29665 KachelY 29792 2.54659986 -1.41816785 145.909424 -81.255032
    Unten links KachelX 29664 KachelY + 1 29793 2.54640811 -1.41819700 145.898438 -81.256703
    Unten rechts KachelX + 1 29665 KachelY + 1 29793 2.54659986 -1.41819700 145.909424 -81.256703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41816785--1.41819700) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dl = 185.714650000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41816785--1.41819700) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dr = 185.714650000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54659986) × cos(-1.41816785) × R
    0.000191750000000379 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 185.733847564944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54659986) × cos(-1.41819700) × R
    0.000191750000000379 × 0.152007763897237 × 6371000     		du = 185.698650681964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41816785)-sin(-1.41819700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152007763897237)×R²
    abs(2.54659986-2.54640811)×2.88111919946876e-05×R²
    0.000191750000000379×2.88111919946876e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.88111919946876e-05×40589641000000     		ar = 34490.228207947m²