Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29664 / 19552
↖ ↑ ↗
← N 77.408678°
W 98.525390°		 ← 66.57 m → N 77.408678°
W 98.522644°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.408079°
W 98.525390°		 ← 66.57 m →
4 432 m²		 N 77.408079°
W 98.522644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226322174072266 y=0.149173736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226322174072266 × 217)
    floor (0.226322174072266 × 131072)
    floor (29664.5)     		tx = 29664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149173736572266 × 217)
    floor (0.149173736572266 × 131072)
    floor (19552.5)     		ty = 19552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29664 / 19552 ti = "17/29664/19552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29664/19552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29664 ÷ 217
    29664 ÷ 131072     		x = 0.226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19552 ÷ 217
    19552 ÷ 131072     		y = 0.149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71959246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149169921875 × 2 - 1) × π
    0.70166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20433039212866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71959246} λ = -1.71959246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20433039212866))-π/2
    2×atan(9.06418008899344)-π/2
    2×1.46091631469349-π/2
    2.92183262938697-1.57079632675     		φ = 1.35103630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71959246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.525390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35103630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.408678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29664 KachelY 19552 -1.71959246 1.35103630 -98.525390 77.408678
    Oben rechts KachelX + 1 29665 KachelY 19552 -1.71954453 1.35103630 -98.522644 77.408678
    Unten links KachelX 29664 KachelY + 1 19553 -1.71959246 1.35102585 -98.525390 77.408079
    Unten rechts KachelX + 1 29665 KachelY + 1 19553 -1.71954453 1.35102585 -98.522644 77.408079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35103630-1.35102585) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35103630-1.35102585) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71959246--1.71954453) × cos(1.35103630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217995427560739 × 6371000     		do = 66.567526290706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71959246--1.71954453) × cos(1.35102585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218005626224147 × 6371000     		du = 66.5706405752674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35103630)-sin(1.35102585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217995427560739-0.218005626224147)×R²
    abs(-1.71954453--1.71959246)×1.01986634076512e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01986634076512e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01986634076512e-05×40589641000000     		ar = 4431.9665392424m²