Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29662 / 42336
↖ ↑ ↗
← S 46.437857°
W 17.061768°		 ← 420.92 m → S 46.437857°
W 17.056275°		 →
↑
420.93 m
↓
↑
420.93 m
↓
S 46.441642°
W 17.061768°		 ← 420.89 m →
177 172 m²		 S 46.441642°
W 17.056275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452613830566406 y=0.646003723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452613830566406 × 216)
    floor (0.452613830566406 × 65536)
    floor (29662.5)     		tx = 29662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646003723144531 × 216)
    floor (0.646003723144531 × 65536)
    floor (42336.5)     		ty = 42336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29662 / 42336 ti = "16/29662/42336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29662/42336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29662 ÷ 216
    29662 ÷ 65536     		x = 0.452606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42336 ÷ 216
    42336 ÷ 65536     		y = 0.64599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.09478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29778402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29778402} λ = -0.29778402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917320511129395))-π/2
    2×atan(0.399588300314184)-π/2
    2×0.380151413212421-π/2
    0.760302826424842-1.57079632675     		φ = -0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29778402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29662 KachelY 42336 -0.29778402 -0.81049350 -17.061768 -46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 29663 KachelY 42336 -0.29768815 -0.81049350 -17.056275 -46.437857
    Unten links KachelX 29662 KachelY + 1 42337 -0.29778402 -0.81055957 -17.061768 -46.441642
    Unten rechts KachelX + 1 29663 KachelY + 1 42337 -0.29768815 -0.81055957 -17.056275 -46.441642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81049350--0.81055957) × R
    6.60700000000292e-05 × 6371000     		dl = 420.931970000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81049350--0.81055957) × R
    6.60700000000292e-05 × 6371000     		dr = 420.931970000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29778402--0.29768815) × cos(-0.81049350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 420.918841640919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29778402--0.29768815) × cos(-0.81055957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689093035651351 × 6371000     		du = 420.88959856801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81049350)-sin(-0.81055957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.689093035651351)×R²
    abs(-0.29768815--0.29778402)×4.78776333543429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78776333543429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78776333543429e-05×40589641000000     		ar = 177172.042614027m²