Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29662 / 41200
↖ ↑ ↗
← S 41.967659°
W 17.061768°		 ← 454.13 m → S 41.967659°
W 17.056275°		 →
↑
454.12 m
↓
↑
454.12 m
↓
S 41.971743°
W 17.061768°		 ← 454.11 m →
206 227 m²		 S 41.971743°
W 17.056275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452613830566406 y=0.628669738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452613830566406 × 216)
    floor (0.452613830566406 × 65536)
    floor (29662.5)     		tx = 29662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628669738769531 × 216)
    floor (0.628669738769531 × 65536)
    floor (41200.5)     		ty = 41200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29662 / 41200 ti = "16/29662/41200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29662/41200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29662 ÷ 216
    29662 ÷ 65536     		x = 0.452606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41200 ÷ 216
    41200 ÷ 65536     		y = 0.628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.09478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29778402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808407875192627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29778402} λ = -0.29778402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808407875192627))-π/2
    2×atan(0.445566899912052)-π/2
    2×0.419161247176495-π/2
    0.838322494352991-1.57079632675     		φ = -0.73247383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29778402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73247383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.967659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29662 KachelY 41200 -0.29778402 -0.73247383 -17.061768 -41.967659
    Oben rechts KachelX + 1 29663 KachelY 41200 -0.29768815 -0.73247383 -17.056275 -41.967659
    Unten links KachelX 29662 KachelY + 1 41201 -0.29778402 -0.73254511 -17.061768 -41.971743
    Unten rechts KachelX + 1 29663 KachelY + 1 41201 -0.29768815 -0.73254511 -17.056275 -41.971743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73247383--0.73254511) × R
    7.12800000000069e-05 × 6371000     		dl = 454.124880000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73247383--0.73254511) × R
    7.12800000000069e-05 × 6371000     		dr = 454.124880000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29778402--0.29768815) × cos(-0.73247383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743522401747397 × 6371000     		do = 454.134389708327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29778402--0.29768815) × cos(-0.73254511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.74347473413655 × 6371000     		du = 454.105274914596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73247383)-sin(-0.73254511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743522401747397-0.74347473413655)×R²
    abs(-0.29768815--0.29778402)×4.76676108477347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76676108477347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76676108477347e-05×40589641000000     		ar = 206227.11444133m²