Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29661 / 29830
↖ ↑ ↗
← S 81.318277°
E145.865479°		 ← 184.39 m → S 81.318277°
E145.876465°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
S 81.319935°
E145.865479°		 ← 184.36 m →
33 994 m²		 S 81.319935°
E145.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905197143554688 y=0.910354614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905197143554688 × 215)
    floor (0.905197143554688 × 32768)
    floor (29661.5)     		tx = 29661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910354614257812 × 215)
    floor (0.910354614257812 × 32768)
    floor (29830.5)     		ty = 29830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29661 / 29830 ti = "15/29661/29830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29661/29830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29661 ÷ 215
    29661 ÷ 32768     		x = 0.905181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29830 ÷ 215
    29830 ÷ 32768     		y = 0.91033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905181884765625 × 2 - 1) × π
    0.81036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54583287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.8206787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5782382091651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54583287} λ = 2.54583287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5782382091651))-π/2
    2×atan(0.0759076196354766)-π/2
    2×0.0757623292081655-π/2
    0.151524658416331-1.57079632675     		φ = -1.41927167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54583287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.865479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41927167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.318277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29661 KachelY 29830 2.54583287 -1.41927167 145.865479 -81.318277
    Oben rechts KachelX + 1 29662 KachelY 29830 2.54602461 -1.41927167 145.876465 -81.318277
    Unten links KachelX 29661 KachelY + 1 29831 2.54583287 -1.41930061 145.865479 -81.319935
    Unten rechts KachelX + 1 29662 KachelY + 1 29831 2.54602461 -1.41930061 145.876465 -81.319935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41927167--1.41930061) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41927167--1.41930061) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54583287-2.54602461) × cos(-1.41927167) × R
    0.000191739999999996 × 0.150945494741818 × 6371000     		do = 184.391324249799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54583287-2.54602461) × cos(-1.41930061) × R
    0.000191739999999996 × 0.150916886270616 × 6371000     		du = 184.356376841142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41927167)-sin(-1.41930061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150945494741818-0.150916886270616)×R²
    abs(2.54602461-2.54583287)×2.86084712017298e-05×R²
    0.000191739999999996×2.86084712017298e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.86084712017298e-05×40589641000000     		ar = 33994.2495071544m²