Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29660 / 42346
↖ ↑ ↗
← S 46.475700°
W 17.072754°		 ← 420.67 m → S 46.475700°
W 17.067260°		 →
↑
420.61 m
↓
↑
420.61 m
↓
S 46.479482°
W 17.072754°		 ← 420.64 m →
176 933 m²		 S 46.479482°
W 17.067260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452583312988281 y=0.646156311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452583312988281 × 216)
    floor (0.452583312988281 × 65536)
    floor (29660.5)     		tx = 29660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646156311035156 × 216)
    floor (0.646156311035156 × 65536)
    floor (42346.5)     		ty = 42346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29660 / 42346 ti = "16/29660/42346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29660/42346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29660 ÷ 216
    29660 ÷ 65536     		x = 0.45257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42346 ÷ 216
    42346 ÷ 65536     		y = 0.646148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29797577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.29229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918279249121796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29797577} λ = -0.29797577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918279249121796))-π/2
    2×atan(0.399205383417173)-π/2
    2×0.379821175174781-π/2
    0.759642350349562-1.57079632675     		φ = -0.81115398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29797577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.072754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81115398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.475700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29660 KachelY 42346 -0.29797577 -0.81115398 -17.072754 -46.475700
    Oben rechts KachelX + 1 29661 KachelY 42346 -0.29787989 -0.81115398 -17.067260 -46.475700
    Unten links KachelX 29660 KachelY + 1 42347 -0.29797577 -0.81122000 -17.072754 -46.479482
    Unten rechts KachelX + 1 29661 KachelY + 1 42347 -0.29787989 -0.81122000 -17.067260 -46.479482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81115398--0.81122000) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dl = 420.61342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81115398--0.81122000) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dr = 420.61342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29797577--0.29787989) × cos(-0.81115398) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688662161131689 × 6371000     		do = 420.670300347258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29797577--0.29787989) × cos(-0.81122000) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688614289693544 × 6371000     		du = 420.641058008418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81115398)-sin(-0.81122000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688662161131689-0.688614289693544)×R²
    abs(-0.29787989--0.29797577)×4.78714381442202e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78714381442202e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78714381442202e-05×40589641000000     		ar = 176933.423925398m²