Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2966 / 3545
↖ ↑ ↗
← N 23.523700°
W 49.658203°		 ← 4 480.46 m → N 23.523700°
W 49.614258°		 →
↑
4 481.11 m
↓
↑
4 481.11 m
↓
N 23.483401°
W 49.658203°		 ← 4 481.83 m →
20 080 490 m²		 N 23.483401°
W 49.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36212158203125 y=0.43280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36212158203125 × 213)
    floor (0.36212158203125 × 8192)
    floor (2966.5)     		tx = 2966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43280029296875 × 213)
    floor (0.43280029296875 × 8192)
    floor (3545.5)     		ty = 3545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2966 / 3545 ti = "13/2966/3545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2966/3545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2966 ÷ 213
    2966 ÷ 8192     		x = 0.362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3545 ÷ 213
    3545 ÷ 8192     		y = 0.4327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.27587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86669915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4327392578125 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.422611707050415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86669915} λ = -0.86669915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422611707050415))-π/2
    2×atan(1.52594166852601)-π/2
    2×0.990681172530943-π/2
    1.98136234506189-1.57079632675     		φ = 0.41056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86669915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.523700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2966 KachelY 3545 -0.86669915 0.41056602 -49.658203 23.523700
    Oben rechts KachelX + 1 2967 KachelY 3545 -0.86593215 0.41056602 -49.614258 23.523700
    Unten links KachelX 2966 KachelY + 1 3546 -0.86669915 0.40986266 -49.658203 23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 2967 KachelY + 1 3546 -0.86593215 0.40986266 -49.614258 23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41056602-0.40986266) × R
    0.000703359999999986 × 6371000     		dl = 4481.10655999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41056602-0.40986266) × R
    0.000703359999999986 × 6371000     		dr = 4481.10655999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86669915--0.86593215) × cos(0.41056602) × R
    0.000766999999999962 × 0.916895055063869 × 6371000     		do = 4480.45994958752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86669915--0.86593215) × cos(0.40986266) × R
    0.000766999999999962 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 4481.83064890085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41056602)-sin(0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916895055063869-0.917175559172046)×R²
    abs(-0.86593215--0.86669915)×0.000280504108176038×R²
    0.000766999999999962×0.000280504108176038×6371000²
    0.000766999999999962×0.000280504108176038×40589641000000     		ar = 20080490.4245998m²