Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29659 / 42332
↖ ↑ ↗
← S 46.422712°
W 17.078247°		 ← 421.04 m → S 46.422712°
W 17.072754°		 →
↑
421.06 m
↓
↑
421.06 m
↓
S 46.426499°
W 17.078247°		 ← 421.01 m →
177 275 m²		 S 46.426499°
W 17.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452568054199219 y=0.645942687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452568054199219 × 216)
    floor (0.452568054199219 × 65536)
    floor (29659.5)     		tx = 29659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645942687988281 × 216)
    floor (0.645942687988281 × 65536)
    floor (42332.5)     		ty = 42332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29659 / 42332 ti = "16/29659/42332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29659/42332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29659 ÷ 216
    29659 ÷ 65536     		x = 0.452560424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42332 ÷ 216
    42332 ÷ 65536     		y = 0.64593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452560424804688 × 2 - 1) × π
    -0.094879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29807164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.916937015932434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29807164} λ = -0.29807164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916937015932434))-π/2
    2×atan(0.399741569895312)-π/2
    2×0.380283572688089-π/2
    0.760567145376178-1.57079632675     		φ = -0.81022918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29807164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.078247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81022918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.422712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29659 KachelY 42332 -0.29807164 -0.81022918 -17.078247 -46.422712
    Oben rechts KachelX + 1 29660 KachelY 42332 -0.29797577 -0.81022918 -17.072754 -46.422712
    Unten links KachelX 29659 KachelY + 1 42333 -0.29807164 -0.81029527 -17.078247 -46.426499
    Unten rechts KachelX + 1 29660 KachelY + 1 42333 -0.29797577 -0.81029527 -17.072754 -46.426499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81022918--0.81029527) × R
    6.60900000000186e-05 × 6371000     		dl = 421.059390000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81022918--0.81029527) × R
    6.60900000000186e-05 × 6371000     		dr = 421.059390000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29807164--0.29797577) × cos(-0.81022918) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.689332422711152 × 6371000     		do = 421.035813256676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29807164--0.29797577) × cos(-0.81029527) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.689284542624134 × 6371000     		du = 421.0065686851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81022918)-sin(-0.81029527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689332422711152-0.689284542624134)×R²
    abs(-0.29797577--0.29807164)×4.78800870177265e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.78800870177265e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.78800870177265e-05×40589641000000     		ar = 177274.92591161m²