Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29658 / 42344
↖ ↑ ↗
← S 46.468133°
W 17.083740°		 ← 420.73 m → S 46.468133°
W 17.078247°		 →
↑
420.68 m
↓
↑
420.68 m
↓
S 46.471916°
W 17.083740°		 ← 420.70 m →
176 985 m²		 S 46.471916°
W 17.078247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452552795410156 y=0.646125793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452552795410156 × 216)
    floor (0.452552795410156 × 65536)
    floor (29658.5)     		tx = 29658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646125793457031 × 216)
    floor (0.646125793457031 × 65536)
    floor (42344.5)     		ty = 42344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29658 / 42344 ti = "16/29658/42344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29658/42344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29658 ÷ 216
    29658 ÷ 65536     		x = 0.452545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42344 ÷ 216
    42344 ÷ 65536     		y = 0.6461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.09490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29816752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918087501523315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29816752} λ = -0.29816752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918087501523315))-π/2
    2×atan(0.399281937430033)-π/2
    2×0.379887204422626-π/2
    0.759774408845252-1.57079632675     		φ = -0.81102192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29816752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.083740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81102192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.468133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29658 KachelY 42344 -0.29816752 -0.81102192 -17.083740 -46.468133
    Oben rechts KachelX + 1 29659 KachelY 42344 -0.29807164 -0.81102192 -17.078247 -46.468133
    Unten links KachelX 29658 KachelY + 1 42345 -0.29816752 -0.81108795 -17.083740 -46.471916
    Unten rechts KachelX + 1 29659 KachelY + 1 42345 -0.29807164 -0.81108795 -17.078247 -46.471916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81102192--0.81108795) × R
    6.60300000000502e-05 × 6371000     		dl = 420.67713000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81102192--0.81108795) × R
    6.60300000000502e-05 × 6371000     		dr = 420.67713000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29816752--0.29807164) × cos(-0.81102192) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688757909502705 × 6371000     		do = 420.728788381401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29816752--0.29807164) × cos(-0.81108795) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688710036818571 × 6371000     		du = 420.699545281446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81102192)-sin(-0.81108795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688757909502705-0.688710036818571)×R²
    abs(-0.29807164--0.29816752)×4.7872684133532e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7872684133532e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7872684133532e-05×40589641000000     		ar = 176984.828317564m²