Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29657 / 29821
↖ ↑ ↗
← S 81.303339°
E145.821533°		 ← 184.72 m → S 81.303339°
E145.832519°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
S 81.305000°
E145.821533°		 ← 184.68 m →
34 113 m²		 S 81.305000°
E145.832519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905075073242188 y=0.910079956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905075073242188 × 215)
    floor (0.905075073242188 × 32768)
    floor (29657.5)     		tx = 29657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910079956054688 × 215)
    floor (0.910079956054688 × 32768)
    floor (29821.5)     		ty = 29821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29657 / 29821 ti = "15/29657/29821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29657/29821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29657 ÷ 215
    29657 ÷ 32768     		x = 0.905059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29821 ÷ 215
    29821 ÷ 32768     		y = 0.910064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905059814453125 × 2 - 1) × π
    0.81011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54506587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.82012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57651248077878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54506587} λ = 2.54506587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57651248077878))-π/2
    2×atan(0.0760387286661692)-π/2
    2×0.0758926858302655-π/2
    0.151785371660531-1.57079632675     		φ = -1.41901096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54506587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41901096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.303339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29657 KachelY 29821 2.54506587 -1.41901096 145.821533 -81.303339
    Oben rechts KachelX + 1 29658 KachelY 29821 2.54525762 -1.41901096 145.832519 -81.303339
    Unten links KachelX 29657 KachelY + 1 29822 2.54506587 -1.41903995 145.821533 -81.305000
    Unten rechts KachelX + 1 29658 KachelY + 1 29822 2.54525762 -1.41903995 145.832519 -81.305000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41901096--1.41903995) × R
    2.89899999998955e-05 × 6371000     		dl = 184.695289999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41901096--1.41903995) × R
    2.89899999998955e-05 × 6371000     		dr = 184.695289999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54506587-2.54525762) × cos(-1.41901096) × R
    0.000191749999999935 × 0.151203212416519 × 6371000     		do = 184.715779014045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54506587-2.54525762) × cos(-1.41903995) × R
    0.000191749999999935 × 0.151174555659704 × 6371000     		du = 184.680770795141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41901096)-sin(-1.41903995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151203212416519-0.151174555659704)×R²
    abs(2.54525762-2.54506587)×2.86567568154872e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86567568154872e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86567568154872e-05×40589641000000     		ar = 34112.9014483137m²