Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29657 / 16751
↖ ↑ ↗
← N 65.696737°
W 17.089233°		 ← 251.38 m → N 65.696737°
W 17.083740°		 →
↑
251.40 m
↓
↑
251.40 m
↓
N 65.694476°
W 17.089233°		 ← 251.40 m →
63 200 m²		 N 65.694476°
W 17.083740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452537536621094 y=0.255607604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452537536621094 × 216)
    floor (0.452537536621094 × 65536)
    floor (29657.5)     		tx = 29657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255607604980469 × 216)
    floor (0.255607604980469 × 65536)
    floor (16751.5)     		ty = 16751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29657 / 16751 ti = "16/29657/16751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29657/16751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29657 ÷ 216
    29657 ÷ 65536     		x = 0.452529907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16751 ÷ 216
    16751 ÷ 65536     		y = 0.255599975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452529907226562 × 2 - 1) × π
    -0.094940185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29826339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255599975585938 × 2 - 1) × π
    0.488800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53561064242888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29826339} λ = -0.29826339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53561064242888))-π/2
    2×atan(4.64416058576338)-π/2
    2×1.35871034494741-π/2
    2.71742068989482-1.57079632675     		φ = 1.14662436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29826339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.089233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14662436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.696737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29657 KachelY 16751 -0.29826339 1.14662436 -17.089233 65.696737
    Oben rechts KachelX + 1 29658 KachelY 16751 -0.29816752 1.14662436 -17.083740 65.696737
    Unten links KachelX 29657 KachelY + 1 16752 -0.29826339 1.14658490 -17.089233 65.694476
    Unten rechts KachelX + 1 29658 KachelY + 1 16752 -0.29816752 1.14658490 -17.083740 65.694476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14662436-1.14658490) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dl = 251.399659999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14662436-1.14658490) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dr = 251.399659999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29826339--0.29816752) × cos(1.14662436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411566270156014 × 6371000     		do = 251.379644355804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29826339--0.29816752) × cos(1.14658490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411602232883906 × 6371000     		du = 251.401609950176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14662436)-sin(1.14658490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411566270156014-0.411602232883906)×R²
    abs(-0.29816752--0.29826339)×3.59627278917474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59627278917474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59627278917474e-05×40589641000000     		ar = 63199.5182017306m²