Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29656 / 42901
↖ ↑ ↗
← S 48.534795°
W 17.094726°		 ← 404.44 m → S 48.534795°
W 17.089233°		 →
↑
404.43 m
↓
↑
404.43 m
↓
S 48.538432°
W 17.094726°		 ← 404.41 m →
163 563 m²		 S 48.538432°
W 17.089233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452522277832031 y=0.654624938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452522277832031 × 216)
    floor (0.452522277832031 × 65536)
    floor (29656.5)     		tx = 29656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654624938964844 × 216)
    floor (0.654624938964844 × 65536)
    floor (42901.5)     		ty = 42901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29656 / 42901 ti = "16/29656/42901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29656/42901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29656 ÷ 216
    29656 ÷ 65536     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42901 ÷ 216
    42901 ÷ 65536     		y = 0.654617309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654617309570312 × 2 - 1) × π
    -0.309234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971489207700058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971489207700058))-π/2
    2×atan(0.378518924869235)-π/2
    2×0.361852180302482-π/2
    0.723704360604964-1.57079632675     		φ = -0.84709197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84709197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.534795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29656 KachelY 42901 -0.29835926 -0.84709197 -17.094726 -48.534795
    Oben rechts KachelX + 1 29657 KachelY 42901 -0.29826339 -0.84709197 -17.089233 -48.534795
    Unten links KachelX 29656 KachelY + 1 42902 -0.29835926 -0.84715545 -17.094726 -48.538432
    Unten rechts KachelX + 1 29657 KachelY + 1 42902 -0.29826339 -0.84715545 -17.089233 -48.538432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84709197--0.84715545) × R
    6.34800000000046e-05 × 6371000     		dl = 404.43108000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84709197--0.84715545) × R
    6.34800000000046e-05 × 6371000     		dr = 404.43108000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29826339) × cos(-0.84709197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662165098144808 × 6371000     		do = 404.44234366769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29826339) × cos(-0.84715545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		du = 404.413288139989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84709197)-sin(-0.84715545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662165098144808-0.662117527566077)×R²
    abs(-0.29826339--0.29835926)×4.75705787310599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75705787310599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75705787310599e-05×40589641000000     		ar = 163563.178423248m²