Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29655 / 16753
↖ ↑ ↗
← N 65.692215°
W 17.100220°		 ← 251.45 m → N 65.692215°
W 17.094726°		 →
↑
251.46 m
↓
↑
251.46 m
↓
N 65.689953°
W 17.100220°		 ← 251.47 m →
63 233 m²		 N 65.689953°
W 17.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452507019042969 y=0.255638122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452507019042969 × 216)
    floor (0.452507019042969 × 65536)
    floor (29655.5)     		tx = 29655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255638122558594 × 216)
    floor (0.255638122558594 × 65536)
    floor (16753.5)     		ty = 16753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29655 / 16753 ti = "16/29655/16753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29655/16753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29655 ÷ 216
    29655 ÷ 65536     		x = 0.452499389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16753 ÷ 216
    16753 ÷ 65536     		y = 0.255630493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452499389648438 × 2 - 1) × π
    -0.095001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29845514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255630493164062 × 2 - 1) × π
    0.488739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5354188948304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29845514} λ = -0.29845514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5354188948304))-π/2
    2×atan(4.6432701644949)-π/2
    2×1.35867088307779-π/2
    2.71734176615558-1.57079632675     		φ = 1.14654544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29845514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.100220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14654544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.692215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29655 KachelY 16753 -0.29845514 1.14654544 -17.100220 65.692215
    Oben rechts KachelX + 1 29656 KachelY 16753 -0.29835926 1.14654544 -17.094726 65.692215
    Unten links KachelX 29655 KachelY + 1 16754 -0.29845514 1.14650597 -17.100220 65.689953
    Unten rechts KachelX + 1 29656 KachelY + 1 16754 -0.29835926 1.14650597 -17.094726 65.689953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14654544-1.14650597) × R
    3.94699999999304e-05 × 6371000     		dl = 251.463369999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14654544-1.14650597) × R
    3.94699999999304e-05 × 6371000     		dr = 251.463369999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29845514--0.29835926) × cos(1.14654544) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.411638194970895 × 6371000     		do = 251.449800622481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29845514--0.29835926) × cos(1.14650597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.411674165530237 × 6371000     		du = 251.471773291891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14654544)-sin(1.14650597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411638194970895-0.411674165530237)×R²
    abs(-0.29835926--0.29845514)×3.59705593420134e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.59705593420134e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.59705593420134e-05×40589641000000     		ar = 63233.1769191784m²