Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29653 / 42905
↖ ↑ ↗
← S 48.549342°
W 17.111206°		 ← 404.33 m → S 48.549342°
W 17.105713°		 →
↑
404.30 m
↓
↑
404.30 m
↓
S 48.552978°
W 17.111206°		 ← 404.30 m →
163 465 m²		 S 48.552978°
W 17.105713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452476501464844 y=0.654685974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452476501464844 × 216)
    floor (0.452476501464844 × 65536)
    floor (29653.5)     		tx = 29653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654685974121094 × 216)
    floor (0.654685974121094 × 65536)
    floor (42905.5)     		ty = 42905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29653 / 42905 ti = "16/29653/42905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29653/42905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29653 ÷ 216
    29653 ÷ 65536     		x = 0.452468872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42905 ÷ 216
    42905 ÷ 65536     		y = 0.654678344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452468872070312 × 2 - 1) × π
    -0.095062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29864688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654678344726562 × 2 - 1) × π
    -0.309356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971872702897018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29864688} λ = -0.29864688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971872702897018))-π/2
    2×atan(0.378373792510149)-π/2
    2×0.361725229977992-π/2
    0.723450459955985-1.57079632675     		φ = -0.84734587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29864688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.111206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84734587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.549342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29653 KachelY 42905 -0.29864688 -0.84734587 -17.111206 -48.549342
    Oben rechts KachelX + 1 29654 KachelY 42905 -0.29855101 -0.84734587 -17.105713 -48.549342
    Unten links KachelX 29653 KachelY + 1 42906 -0.29864688 -0.84740933 -17.111206 -48.552978
    Unten rechts KachelX + 1 29654 KachelY + 1 42906 -0.29855101 -0.84740933 -17.105713 -48.552978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84734587--0.84740933) × R
    6.34600000000152e-05 × 6371000     		dl = 404.303660000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84734587--0.84740933) × R
    6.34600000000152e-05 × 6371000     		dr = 404.303660000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29864688--0.29855101) × cos(-0.84734587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661974814812321 × 6371000     		do = 404.326120935372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29864688--0.29855101) × cos(-0.84740933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661927248554375 × 6371000     		du = 404.297068046754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84734587)-sin(-0.84740933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661974814812321-0.661927248554375)×R²
    abs(-0.29855101--0.29864688)×4.75662579461078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75662579461078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75662579461078e-05×40589641000000     		ar = 163464.657488034m²