Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29653 / 42314
↖ ↑ ↗
← S 46.354511°
W 17.111206°		 ← 421.56 m → S 46.354511°
W 17.105713°		 →
↑
421.57 m
↓
↑
421.57 m
↓
S 46.358302°
W 17.111206°		 ← 421.53 m →
177 711 m²		 S 46.358302°
W 17.105713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452476501464844 y=0.645668029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452476501464844 × 216)
    floor (0.452476501464844 × 65536)
    floor (29653.5)     		tx = 29653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645668029785156 × 216)
    floor (0.645668029785156 × 65536)
    floor (42314.5)     		ty = 42314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29653 / 42314 ti = "16/29653/42314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29653/42314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29653 ÷ 216
    29653 ÷ 65536     		x = 0.452468872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42314 ÷ 216
    42314 ÷ 65536     		y = 0.645660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452468872070312 × 2 - 1) × π
    -0.095062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29864688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.29132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.915211287546112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29864688} λ = -0.29864688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915211287546112))-π/2
    2×atan(0.400432010855103)-π/2
    2×0.380878744774767-π/2
    0.761757489549534-1.57079632675     		φ = -0.80903884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29864688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.111206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80903884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.354511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29653 KachelY 42314 -0.29864688 -0.80903884 -17.111206 -46.354511
    Oben rechts KachelX + 1 29654 KachelY 42314 -0.29855101 -0.80903884 -17.105713 -46.354511
    Unten links KachelX 29653 KachelY + 1 42315 -0.29864688 -0.80910501 -17.111206 -46.358302
    Unten rechts KachelX + 1 29654 KachelY + 1 42315 -0.29855101 -0.80910501 -17.105713 -46.358302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80903884--0.80910501) × R
    6.61699999999765e-05 × 6371000     		dl = 421.56906999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80903884--0.80910501) × R
    6.61699999999765e-05 × 6371000     		dr = 421.56906999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29864688--0.29855101) × cos(-0.80903884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690194270215934 × 6371000     		do = 421.562219171958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29864688--0.29855101) × cos(-0.80910501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		du = 421.532972381957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80903884)-sin(-0.80910501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690194270215934-0.690146386496845)×R²
    abs(-0.29855101--0.29864688)×4.78837190883707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78837190883707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78837190883707e-05×40589641000000     		ar = 177711.427977368m²