Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29653 / 19348
↖ ↑ ↗
← N 59.119587°
W 17.111206°		 ← 313.49 m → N 59.119587°
W 17.105713°		 →
↑
313.45 m
↓
↑
313.45 m
↓
N 59.116768°
W 17.111206°		 ← 313.51 m →
98 267 m²		 N 59.116768°
W 17.105713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452476501464844 y=0.295234680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452476501464844 × 216)
    floor (0.452476501464844 × 65536)
    floor (29653.5)     		tx = 29653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295234680175781 × 216)
    floor (0.295234680175781 × 65536)
    floor (19348.5)     		ty = 19348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29653 / 19348 ti = "16/29653/19348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29653/19348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29653 ÷ 216
    29653 ÷ 65536     		x = 0.452468872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19348 ÷ 216
    19348 ÷ 65536     		y = 0.29522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452468872070312 × 2 - 1) × π
    -0.095062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29864688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29522705078125 × 2 - 1) × π
    0.4095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28662638580231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29864688} λ = -0.29864688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28662638580231))-π/2
    2×atan(3.62055158509063)-π/2
    2×1.30131389083096-π/2
    2.60262778166191-1.57079632675     		φ = 1.03183145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29864688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.111206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03183145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.119587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29653 KachelY 19348 -0.29864688 1.03183145 -17.111206 59.119587
    Oben rechts KachelX + 1 29654 KachelY 19348 -0.29855101 1.03183145 -17.105713 59.119587
    Unten links KachelX 29653 KachelY + 1 19349 -0.29864688 1.03178225 -17.111206 59.116768
    Unten rechts KachelX + 1 29654 KachelY + 1 19349 -0.29855101 1.03178225 -17.105713 59.116768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03183145-1.03178225) × R
    4.92000000000825e-05 × 6371000     		dl = 313.453200000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03183145-1.03178225) × R
    4.92000000000825e-05 × 6371000     		dr = 313.453200000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29864688--0.29855101) × cos(1.03183145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51324788220916 × 6371000     		do = 313.485529431748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29864688--0.29855101) × cos(1.03178225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513290107016409 × 6371000     		du = 313.511319827607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03183145)-sin(1.03178225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51324788220916-0.513290107016409)×R²
    abs(-0.29855101--0.29864688)×4.2224807249025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2224807249025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2224807249025e-05×40589641000000     		ar = 98267.0844153111m²