Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29652 / 42314
↖ ↑ ↗
← S 46.354511°
W 17.116699°		 ← 421.61 m → S 46.354511°
W 17.111206°		 →
↑
421.57 m
↓
↑
421.57 m
↓
S 46.358302°
W 17.116699°		 ← 421.58 m →
177 730 m²		 S 46.358302°
W 17.111206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452461242675781 y=0.645668029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452461242675781 × 216)
    floor (0.452461242675781 × 65536)
    floor (29652.5)     		tx = 29652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645668029785156 × 216)
    floor (0.645668029785156 × 65536)
    floor (42314.5)     		ty = 42314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29652 / 42314 ti = "16/29652/42314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29652/42314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29652 ÷ 216
    29652 ÷ 65536     		x = 0.45245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42314 ÷ 216
    42314 ÷ 65536     		y = 0.645660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.29132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.915211287546112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29874276} λ = -0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915211287546112))-π/2
    2×atan(0.400432010855103)-π/2
    2×0.380878744774767-π/2
    0.761757489549534-1.57079632675     		φ = -0.80903884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80903884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.354511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29652 KachelY 42314 -0.29874276 -0.80903884 -17.116699 -46.354511
    Oben rechts KachelX + 1 29653 KachelY 42314 -0.29864688 -0.80903884 -17.111206 -46.354511
    Unten links KachelX 29652 KachelY + 1 42315 -0.29874276 -0.80910501 -17.116699 -46.358302
    Unten rechts KachelX + 1 29653 KachelY + 1 42315 -0.29864688 -0.80910501 -17.111206 -46.358302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80903884--0.80910501) × R
    6.61699999999765e-05 × 6371000     		dl = 421.56906999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80903884--0.80910501) × R
    6.61699999999765e-05 × 6371000     		dr = 421.56906999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29874276--0.29864688) × cos(-0.80903884) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.690194270215934 × 6371000     		do = 421.606191448891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29874276--0.29864688) × cos(-0.80910501) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		du = 421.576941608218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80903884)-sin(-0.80910501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690194270215934-0.690146386496845)×R²
    abs(-0.29864688--0.29874276)×4.78837190883707e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78837190883707e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78837190883707e-05×40589641000000     		ar = 177729.964686233m²