Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29652 / 29788
↖ ↑ ↗
← S 81.248348°
E145.766602°		 ← 185.87 m → S 81.248348°
E145.777588°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
S 81.250020°
E145.766602°		 ← 185.83 m →
34 538 m²		 S 81.250020°
E145.777588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904922485351562 y=0.909072875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904922485351562 × 215)
    floor (0.904922485351562 × 32768)
    floor (29652.5)     		tx = 29652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909072875976562 × 215)
    floor (0.909072875976562 × 32768)
    floor (29788.5)     		ty = 29788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29652 / 29788 ti = "15/29652/29788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29652/29788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29652 ÷ 215
    29652 ÷ 32768     		x = 0.9049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29788 ÷ 215
    29788 ÷ 32768     		y = 0.9090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9049072265625 × 2 - 1) × π
    0.809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54410714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57018481002893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54410714} λ = 2.54410714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57018481002893))-π/2
    2×atan(0.076521402194493)-π/2
    2×0.0763725670891775-π/2
    0.152745134178355-1.57079632675     		φ = -1.41805119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54410714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41805119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.248348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29652 KachelY 29788 2.54410714 -1.41805119 145.766602 -81.248348
    Oben rechts KachelX + 1 29653 KachelY 29788 2.54429888 -1.41805119 145.777588 -81.248348
    Unten links KachelX 29652 KachelY + 1 29789 2.54410714 -1.41808036 145.766602 -81.250020
    Unten rechts KachelX + 1 29653 KachelY + 1 29789 2.54429888 -1.41808036 145.777588 -81.250020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41805119--1.41808036) × R
    2.91700000001338e-05 × 6371000     		dl = 185.842070000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41805119--1.41808036) × R
    2.91700000001338e-05 × 6371000     		dr = 185.842070000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54410714-2.54429888) × cos(-1.41805119) × R
    0.000191739999999996 × 0.152151877866504 × 6371000     		do = 185.865012366784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54410714-2.54429888) × cos(-1.41808036) × R
    0.000191739999999996 × 0.152123047424446 × 6371000     		du = 185.82979380396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41805119)-sin(-1.41808036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152151877866504-0.152123047424446)×R²
    abs(2.54429888-2.54410714)×2.88304420574537e-05×R²
    0.000191739999999996×2.88304420574537e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.88304420574537e-05×40589641000000     		ar = 34538.266095736m²